Question

Добрый день. Помогите пожалуйста с вычислением производной функции: f(x)=(x^2+3x+1)/(3x^2+1) Спасибо.

Answer 1

Функция частного 
$y' = (\frac{ x^{2} +3x+1}{3 x^{2} +1}) ' = \frac{(2x+3)(3 x^{2} +1)-6x( x^{2} +3x+1)}{  }$
$\frac{6 x^{3}+2x+9 x^{2} +3-6 x^{3}-18 x^{2} -6x }{(3 x^{2} +1)^{2}} = \frac{-9 x^{2} -4x+3}{(3 x^{2} +1)^{2}}$
вроде так, допускаю, что мог где-то ошибиться

Answer 2

Добрый день!

Для вычисления производной данной функции f(x) применим правило дифференцирования для сложной функции.

Сначала разобьем функцию f(x) на две части: числитель и знаменатель. Числитель: g(x) = x^2 + 3x + 1 Знаменатель: h(x) = 3x^2 + 1

Теперь применим правило для дифференцирования сложной функции.

f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / h(x)^2

Найдем производную для числителя и знаменателя.

g'(x) = 2x + 3 (производная квадратичной функции) h'(x) = 6x (производная квадратичной функции)

Подставим найденные производные в формулу для f'(x):

f'(x) = (2x + 3) * (3x^2 + 1) - (x^2 + 3x + 1) * (6x) / (3x^2 + 1)^2

Разложим на множители и упростим выражение:

f'(x) = (6x^3 + 2x + 9x^2 + 3) - (6x^3 + 18x^2 + 6x) / (3x^2 + 1)^2

Теперь соберем подобные слагаемые:

f'(x) = (6x^3 + 2x + 9x^2 + 3 - 6x^3 - 18x^2 - 6x) / (3x^2 + 1)^2

f'(x) = (-9x^2 - 4x + 3) / (3x^2 + 1)^2

Таким образом, производная функции f(x) равна -9x^2 - 4x + 3, деленная на (3x^2 + 1)^2.

Надеюсь, эта информация полезна для вас! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.