Question

Исследуйте функцию с помощью производной на монотонность и экстремумы Y=4x^3-12x+5

Answer 1

Исследование: 

1) Область определения и область значения функции
$\displaystyle y=4x^3-12x+5$

Область определения (-оо;+оо)
Область значения (-oo;+oo)

2) Исследуем общие свойства функции: чётность; нечётность

$\displaystyle y(-x)=4*(-x)^3-12(-x)+5=-4x^3+12x+5=-(4x^3-12x-5)$

Значит функция не является ни четной ни нечетной

3) Находим точки пересечения графика функции с осями координат.

$\displaystyle y(0)=4*0-12*0+5=5$

точка пересечения с осью Оу (0;5)

$\displaystyle y(x)=0\\4x^3-12x+5=0$

Уравнение в целых числах не решается:
х₁≈-1,9; х₂≈0,44; х₃≈1,46

Точки пересечения с осью Ох (-1,9;0) (0,44;0) (1,46;0)

4) Находим критические точки и интервалы монотонности.

для этого найдем производную 

$\displaystyle y`(x)=(4x^3-12x+5)`=12x^2-12$

найдем критические точки

$\displaystyle 12x^2-12=0\\12(x^2-1)=0\\x_1=1; x_2=-1$

определим знаки производной 
 
     +               -                 +
-------- -1 ------------ 1 --------------

на интервале (-оо; -1 ) (1;+оо) возрастает
на интервале (-1;1) убывает

точка х= -1 - точка максимума
$\displaystyle y(-1)=4*(-1)^3-12(-1)+5=-4+12+5=13$ максимум функции

точка х=1 - точка минимума
$\displaystyle y(1)=4*1^3-12*1+5=4-12+5=-3$ минимум функии

5) Найдем точки перегиба и интервалы выпуклости.

Для этого найдем вторую производную

$\displaystyle y``(x)=(12x^2-12)`=24x$

найдем критические точки

$\displaystyle y``(x)=0\\24x=0\\x=0$
определим знаки второй производной на интервалах

    -                      +
------------ 0 --------------

На интервале (-оо;0) график Выпуклый вверх
на интервале (0;+оо) график выпуклый вниз-вогнутый

и график в приложении

Answer 2

Монотонность функции

Чтобы исследовать функцию на монотонность, мы можем использовать производную функции. Если производная положительна на некотором интервале, то функция возрастает на этом интервале. Если производная отрицательна на некотором интервале, то функция убывает на этом интервале.

Давайте найдем производную функции Y = 4x^3 - 12x + 5.

Сначала найдем производную каждого члена по отдельности: d/dx(4x^3) = 12x^2 d/dx(-12x) = -12 d/dx(5) = 0

Теперь сложим эти производные, чтобы получить полную производную функции: dY/dx = 12x^2 - 12

Экстремумы функции

Чтобы найти экстремумы функции, мы можем приравнять производную функции к нулю и решить полученное уравнение.

Положим dY/dx = 0 и решим уравнение: 12x^2 - 12 = 0

Разделим обе части уравнения на 12: x^2 - 1 = 0

Факторизуем левую часть уравнения: (x - 1)(x + 1) = 0

Теперь мы получили два возможных значения x: x = 1 и x = -1.

Анализ монотонности и экстремумов

Теперь мы можем использовать полученную информацию для анализа монотонности и экстремумов функции Y = 4x^3 - 12x + 5.

1. Монотонность функции: - Функция возрастает на интервале (-∞, -1). - Функция убывает на интервале (-1, 1). - Функция возрастает на интервале (1, +∞).

2. Экстремумы функции: - Функция имеет локальный минимум в точке x = -1. - Функция имеет локальный максимум в точке x = 1.

Это детальный анализ монотонности и экстремумов функции Y = 4x^3 - 12x + 5.