Question

В прямоугольном треугольнике АВС с катетами АС=5 см и ВС=12 см из вершины прямого угла С на гипотенузу опущена высота СD. Найдите(в кв.см) площадь треугольника АDС

Answer 1

1. В ΔАВС по теореме Пифагора находим длину гипотенузы.
AB²=AC²+BC²=5²+12²=25+144=169; AB=√(169)=13.
2. Площадь ΔАВС определяем по формуле Герона:
$S_{\Delta ABC}= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}; \ p= \frac{1}{2}(a+b+c); \\ p= \frac{1}{2}(5+12+13)=15; \\ S_{\Delta ABC}= \sqrt{15(15-5)(15-12)(15-13)}= \sqrt{15*10*3*2}=30;$
3. Площадь ΔАВС также может быть найдена как половина произведения основания треугольника AB на высоту СD, откуда можно найти CD:
$S_{\Delta ABC}= \frac{1}{2}AB*CD \to CD= \frac{2*S_{\Delta ABC}}{AB}= \frac{2*30}{13}= \frac{60}{13}$
4. В ΔADC угол ADC прямой, поэтому сторону AD можно определить из теоремы Пифагора: AD²=AC²-CD²=5²-(25/13)²=625/169; AD=√(625/169)=25/13
5 Площадь ΔADC находим как (1/2)*AD*DC:
$S_{\Delta ADC}= \frac{1}{2}* \frac{25}{13}* \frac{60}{13}=750/169\approx 4.44$

Answer 2

Решение Вашего задания во вложении

Answer 3

Для решения задачи по нахождению площади треугольника \(ADC\), нужно использовать формулу для площади треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \]

В данном случае, основание - это сторона, к которой проведена высота, а высота - это сама высота. Давайте обозначим стороны треугольника \(ADC\) следующим образом:

- \(AD\) - основание треугольника \(ADC\), - \(CD\) - высота, проведенная из вершины прямого угла \(C\) на гипотенузу \(AB\).

Так как у нас есть прямоугольный треугольник \(ABC\) с катетами \(AC = 5\) см и \(BC = 12\) см, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения гипотенузы \(AB\):

\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} \]

Подставим значения:

\[ AB = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \]

Теперь у нас есть все необходимые стороны:

- \(AC = 5\) см, - \(BC = 12\) см, - \(AB = 13\) см.

Теперь можем использовать формулу для площади треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \times AD \times CD \]

Нам нужно найти высоту \(CD\). Мы знаем, что треугольник \(ABC\) является прямоугольным, и высота \(CD\) является его гипотенузой. Так что \(CD = AB = 13\) см.

Теперь мы можем подставить значения в формулу для площади:

\[ S = \frac{1}{2} \times AD \times 13 \]

У нас нет информации о стороне \(AD\), но мы можем воспользоваться подобием треугольников. Треугольник \(ADC\) подобен треугольнику \(ABC\), так как угол \(A\) общий, и угол \(C\) прямой. Следовательно, соотношение сторон:

\[ \frac{AD}{AC} = \frac{CD}{BC} \]

Подставляем известные значения:

\[ \frac{AD}{5} = \frac{13}{12} \]

Решаем уравнение относительно \(AD\):

\[ AD = \frac{5 \times 13}{12} = \frac{65}{12} \]

Теперь можем подставить \(AD\) в формулу для площади:

\[ S = \frac{1}{2} \times \frac{65}{12} \times 13 \]

Упростим выражение:

\[ S = \frac{1}{2} \times \frac{65}{12} \times 13 = \frac{65}{2} \]

Таким образом, площадь треугольника \(ADC\) равна \(\frac{65}{2}\) квадратных сантиметра.