Question

Две окружности ,каждая из которых вписана в острый угол 60* , касаются друг друга внешним образом. найдите расстояние от точки касания окружностей до стороны угла, если радиус большой окружности равен 23 ????

Answer 1

Центр окружностей, вписанных в угол, лежат на биссектрисе угла.  Обозначения: А-вершина угла, О1- центр большой окружности. В - точка касания большой окружности со стороной угла, О2-точка касания окружностей. О1В=О1О2=23 (радиус), Угол О1АВ=30 град, тогда угол АО1В =О2О1В=60 град Так как О2О1=О1В, сл-но О2В=23 (О2О1В-равносторонний треугольник - все углы 60град). Опустим перпендикуляр из точки касания к стороне угла. Получим  прямоугольный треугольник О2КВ, где О2В=23(гипотенуза), угол О2ВК=30град. Правило: катет, лежащий против угла в 30град = половине гипотенузы: О2К=23:2=11,5. Ответ: 11,5

Answer 2

Давайте обозначим следующие величины:

\( R \) - радиус большой окружности (в данном случае, \( R = 23 \)), \( r \) - радиус каждой из маленьких окружностей.

Так как каждая из окружностей вписана в острый угол 60° и касается друг друга внешним образом, у нас образуется равносторонний треугольник. По свойствам равностороннего треугольника:

1. Высота этого треугольника проходит через центр маленькой окружности, и она также является медианой и биссектрисой. 2. Эта высота также является радиусом большой окружности, проведенным к точке касания маленькой окружности.

Обозначим высоту треугольника как \( h \).

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, в котором один катет равен \( r \) (радиус маленькой окружности), а второй катет равен \( h \). Таким образом, по теореме Пифагора:

\[ r^2 + h^2 = (R + r)^2 \]

Также, по свойствам треугольника, синус 60° равен отношению высоты к гипотенузе:

\[ \sin(60^\circ) = \frac{h}{R + r} \]

Синус 60° равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), поэтому:

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{R + r} \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

\[ \begin{cases} r^2 + h^2 = (R + r)^2 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{R + r} \end{cases} \]

Решив эту систему уравнений, мы сможем найти значения \( r \) и \( h \). После этого расстояние от точки касания маленькой окружности до стороны угла будет равно \( h \).