Question

Дан равнобедренный треугольник abc с боковыми сторонами ab = bc = 10 и основанием ac = корень из 80. Найти радиус окружности, проходящей через вершины B и С центр которой находится на высоте CD. Можете показать как будет выглядеть чертеж?

Answer 1

Найдем площадь треугольника  
$S=\frac{\sqrt{80}\sqrt{10^2-\frac{80}{4}}}{2}=40\\ S=\frac{AB*CD}{2}=40\\ CD=8$ 
Высота равна $8$. Достроим  треугольник $XBC$ , угол $XBC$ $90а$ , так как  $XC$ диаметр окружности . 
Найдем угол $80=2*10^2-2*10^2*cosABC\\ cosABC=\frac{3}{5}$. 
Тогда угол $XBE=90-arccos(\frac{3}{5})$. 
$BD=\sqrt{10^2-8^2}=6$. 
$XB=\frac{6}{sin(arccos\frac{3}{5})}\\ sina=\frac{4}{5}\\ XB=\frac{6}{\frac{4}{5}} = \frac{15}{2}\\ XE=\sqrt{(\frac{15}{2})^2-6^2}=\frac{9}{2}\\ XC=\frac{9}{2}+8=\frac{25}{2}$
Тогда радиус    $R=\frac{25}{4}$.          
    

Answer 2

Давайте решим задачу.

1. Поскольку треугольник ABC - равнобедренный, то высота CD является медианой и биссектрисой. Это означает, что треугольник CBD также является равнобедренным.

2. Обозначим точку, в которой пересекаются медиана CD и биссектриса CE, как точку O. Так как треугольник CBD - равнобедренный, то точка O также является центром вписанной окружности в этот треугольник.

3. Также известно, что точка O лежит на высоте CD. Поскольку CD проходит через O, то это означает, что CD - высота и медиана треугольника CBD, а значит, треугольник CBD - равнобедренный. Следовательно, угол BCD также равен углу CBD.

4. Рассмотрим треугольник CBD. Поскольку BCD и CBD равнобедренные, то угол BDC также равен углу BCD, а значит, треугольник BDC - равнобедренный.

5. Известно, что BC = 10. Поскольку треугольник BDC - равнобедренный, то BD = CD = 10 / 2 = 5.

6. Теперь мы знаем длины всех сторон треугольника BDC, и можем использовать формулу радиуса вписанной окружности:

\[ r = \frac{abc}{4S}, \]

где \( a, b, c \) - длины сторон треугольника, \( S \) - его площадь.

7. Площадь треугольника BDC можно найти с использованием формулы Герона:

\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \]

где \( p \) - полупериметр треугольника, \( a, b, c \) - длины сторон.

8. Подставим значения и найдем радиус \( r \).

\[ p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{10 + 5 + 5}{2} = 10, \]

\[ S = \sqrt{10(10-5)(10-5)(10-\sqrt{80})} = \sqrt{5000 - 2500\sqrt{2}}. \]

9. Теперь подставим \( S \) в формулу для радиуса:

\[ r = \frac{10 \cdot 5 \cdot 5}{4 \sqrt{5000 - 2500\sqrt{2}}} = \frac{250}{\sqrt{5000 - 2500\sqrt{2}}}. \]

Это значение радиуса можно выразить в более удобной форме, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение:

\[ r = \frac{250}{\sqrt{5000 - 2500\sqrt{2}}} \cdot \frac{\sqrt{5000 + 2500\sqrt{2}}}{\sqrt{5000 + 2500\sqrt{2}}} \]

\[ r = \frac{250\sqrt{5000 + 2500\sqrt{2}}}{5000 - 2500\sqrt{2}}. \]

Таким образом, радиус окружности равен \( \frac{250\sqrt{5000 + 2500\sqrt{2}}}{5000 - 2500\sqrt{2}} \).

Что касается чертежа, я, к сожалению, не могу предоставить изображения, так как не имею функционала для создания рисунков. Но вы можете использовать программы для рисования геометрических фигур, такие как GeoGebra или даже бумагу и карандаш, чтобы нарисовать треугольник ABC, его высоту CD, точку O и вписанную окружность.