Question

Помогите пожалуйста решить неопределенный интеграл (tg^2x+2)/(cos2x)

Answer 1

Решение в приложении.

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить данный неопределенный интеграл. Давайте рассмотрим интеграл:

\[ \int \frac{\tan^2(x) + 2}{\cos(2x)} \,dx \]

Для удобства проведем замену переменной. Обозначим:

\[ u = \tan(x) \]

Тогда:

\[ du = \sec^2(x) \,dx \]

Также вспомним тригонометрическую тождества:

\[ \tan^2(x) + 1 = \sec^2(x) \] \[ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 1 - 2\sin^2(x) \]

Теперь приступим к решению:

\[ \int \frac{\tan^2(x) + 2}{\cos(2x)} \,dx = \int \frac{\sec^2(x) + 1}{1 - 2\sin^2(x)} \,dx \]

Используем замену \( u = \tan(x) \) и \( du = \sec^2(x) \,dx \):

\[ \int \frac{\sec^2(x) + 1}{1 - 2\sin^2(x)} \,dx = \int \frac{u^2 + 1}{1 - 2\left(\frac{u}{\sqrt{u^2+1}}\right)^2} \,du \]

Упростим выражение под знаком интеграла:

\[ = \int \frac{u^2 + 1}{1 - 2\left(\frac{u}{\sqrt{u^2+1}}\right)^2} \,du = \int \frac{u^2 + 1}{1 - 2\left(\frac{u^2}{u^2+1}\right)} \,du \]

\[ = \int \frac{u^2 + 1}{1 - \frac{2u^2}{u^2+1}} \,du = \int \frac{u^2 + 1}{\frac{u^2+1}{u^2+1} - \frac{2u^2}{u^2+1}} \,du \]

\[ = \int \frac{u^2 + 1}{\frac{1-u^2}{u^2+1}} \,du = \int \frac{u^2 + 1}{\frac{(1+u)(1-u)}{u^2+1}} \,du \]

\[ = \int \frac{u^2 + 1}{\frac{1+u}{u^2+1} \cdot \frac{1-u}{u^2+1}} \,du = \int \frac{u^2 + 1}{\frac{u^2+1+u-u^2}{u^2+1}} \,du \]

\[ = \int \frac{u^2 + 1}{\frac{u+1}{u^2+1}} \,du = \int \frac{u^2 + 1}{\frac{u+1}{\sqrt{u^2+1}} \cdot \sqrt{u^2+1}} \,du \]

\[ = \int \frac{u^2 + 1}{\sqrt{u^2+1}(u+1)} \,du \]

Теперь проведем частичное дробление:

\[ \frac{u^2 + 1}{\sqrt{u^2+1}(u+1)} = \frac{A}{\sqrt{u^2+1}} + \frac{B}{u+1} \]

Умножим обе стороны на \(\sqrt{u^2+1}(u+1)\) и приведем подобные члены:

\[ u^2 + 1 = A(u+1) + B\sqrt{u^2+1} \]

Теперь подставим значения переменных:

\[ u = -1: \quad (-1)^2 + 1 = B\sqrt{(-1)^2+1} \] \[ 2 = B\sqrt{2} \] \[ B = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \]

\[ u = 0: \quad 0^2 + 1 = A(0+1) + B\sqrt{0^2+1} \] \[ 1 = A + B \] \[ A = 1 - B = 1 - \sqrt{2} \]

Таким образом, мы можем разложить исходную рациональную функцию на части:

\[ \frac{u^2 + 1}{\sqrt{u^2+1}(u+1)} = \frac{1 - \sqrt{2}}{\sqrt{u^2+1}} + \sqrt{2}\frac{1}{u+1} \]

Теперь мы можем проинтегрировать каждую из частей:

\[ \int \frac{u^2 + 1}{\sqrt{u^2+1}(u+1)} \,du = \int \frac{1 - \sqrt{2}}{\sqrt{u^2+1}} \,du + \sqrt{2}\int \frac{1}{u+1} \,du \]

Первый интеграл можно взять с помощью замены \(v = u^2 + 1\), а второй интеграл - стандартный интеграл для логарифма:

\[ = (1 - \sqrt{2})\int \frac{1}{\sqrt{v}} \,dv + \sqrt{2} \ln|u+1| \]

\[ = (1 - \sqrt{2})\int v^{-1/2} \,dv + \sqrt{2} \ln|u+1| \]

\[ = 2(1 - \sqrt{2})\sqrt{v} + \sqrt{2} \ln|u+1| + C \]

Теперь возвращаемся к переменной \(u\):

\[ = 2(1 - \sqrt{2})\sqrt{u^2 + 1} + \sqrt{2} \ln|u+1| + C \]

где \(C\) - константа интегрирования. Таким образом, получается ответ:

\[ \int \frac{\tan^2(x) + 2}{\cos(2x)} \,dx = 2(1 - \sqrt{2