Question

Найти производную сложной функции y=ln(2-x^2)

Answer 1

Если понравилось решение - нажимай "спасибо" и "лучший" (рядом с кнопкой "спасибо") :)

Answer 2

Для нахождения производной сложной функции \(y = \ln(2 - x^2)\), мы воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепного правила).

Цепное правило формулируется следующим образом: если у нас есть функции \(u(x)\) и \(v(x)\), то производная их композиции \((v \circ u)(x) = v(u(x))\) равна произведению производной внешней функции \(v(x)\) на производную внутренней функции \(u(x)\).

Пусть \(u(x) = 2 - x^2\), а \(v(x) = \ln(u)\). Тогда:

1. Найдем производную внутренней функции \(u(x)\): \[u'(x) = -2x.\]

2. Найдем производную внешней функции \(v(x)\), применяя правило дифференцирования логарифма: \[v'(u) = \frac{1}{u}.\]

3. Теперь, применяя цепное правило, получим производную сложной функции \(y(x)\): \[y'(x) = v'(u) \cdot u'(x).\]

Сначала заметим, что \(v'(u) = \frac{1}{u}\). Теперь подставим значения: \[y'(x) = \frac{1}{2 - x^2} \cdot (-2x).\]

Мы можем упростить это выражение: \[y'(x) = \frac{-2x}{2 - x^2}.\]

Таким образом, производная функции \(y = \ln(2 - x^2)\) равна \(\frac{-2x}{2 - x^2}\).