Question

Докажите, что если n и 6 взаимно простые, то Число n^2-1 делится на 24

Answer 1

Если натуральное число n имеет остаток k при делении на 6, его можно представить в виде n=6m+k, где m - натуральное число или 0. По условию, n взаимно просто с 6, то есть n не делится на 2 и не делится на 3. Тогда k=1 или k=5, где k - целое неотрицательное число. Рассмотрим эти два случая:

1. n=6k+1, n²=(6k+1)²=36k²+12k+1, n²-1=36k²+12k=12k(3k+1). Если k чётно, то 12k делится на 24, тогда и всё произведение делится на 24. Если k нечётно, то 12(3k+1) делится на 24, тогда тоже всё произведение делится на 24.

2. n=6k+5, n²=(6k+5)²=36k²+60k+25, n²-1=36k²+60k+24=36k²+12k+48k+24=36k²+12k+24(2k+1). Последнее слагаемое делится на 24, а то, что 2 предыдущих делятся на 24, мы доказали выше. Значит, вся сумма делится на 24.

Таким образом, если n не делится на 2 и на 3, то n²-1 всегда будет делиться на 24.

Answer 2

Давайте рассмотрим ситуацию, где \(n\) и 6 взаимно просты. Взаимная простота означает, что у них нет общих делителей, кроме 1.

Мы хотим доказать, что \(n^2 - 1\) делится на 24. Давайте представим \(n\) как произведение двух чисел: \(n = a \cdot b\), где \(a\) и \(b\) взаимно просты (так как \(n\) взаимно просто с 6). Тогда \(n^2 - 1\) можно представить в виде:

\[n^2 - 1 = (a \cdot b)^2 - 1 = a^2 \cdot b^2 - 1\]

Теперь давайте рассмотрим разность квадратов:

\[a^2 \cdot b^2 - 1 = (a \cdot b + 1) \cdot (a \cdot b - 1)\]

Таким образом, мы разложили \(n^2 - 1\) на произведение двух чисел: \(a \cdot b + 1\) и \(a \cdot b - 1\).

Теперь обратим внимание, что \(a \cdot b + 1\) и \(a \cdot b - 1\) — это два последовательных целых числа. Один из них обязательно четный, а другой нечетный. Поскольку \(a\) и \(b\) взаимно просты, то \(a\) и \(b\) не могут оба быть нечетными. Таким образом, одно из них делится на 2.

Также, поскольку \(n\) взаимно просто с 6, то \(n\) нечетное. Следовательно, один из множителей в разложении \(n = a \cdot b\) тоже нечетный. Таким образом, одно из чисел \(a \cdot b + 1\) или \(a \cdot b - 1\) делится на 2, и другое делится на нечетное число.

Итак, мы доказали, что \(n^2 - 1\) делится на 2 и на нечетное число. Теперь мы можем заключить, что \(n^2 - 1\) делится на произведение 2 и нечетного числа, то есть на 2 * 2 = 4.

Теперь давайте рассмотрим деление на 3. Поскольку \(n\) взаимно просто с 6, то \(n\) не делится на 3. Таким образом, ни \(a\), ни \(b\) не могут делиться на 3. Тогда их квадраты, \(a^2\) и \(b^2\), также не делятся на 3. Так что \(a^2 \cdot b^2\) не делится на 3.

Таким образом, мы показали, что \(n^2 - 1\) делится на 4, но не делится на 3. Таким образом, оно делится на 2 * 2 * 1 = 4, что равно 24.

Таким образом, если \(n\) и 6 взаимно просты, то \(n^2 - 1\) действительно делится на 24.