Question

Вычисление неопределенного интеграла методом подстановки и интегрирование по частям: ∫x*sin3x dx=

Answer 1

Прикрепила... Там всё:)

Answer 2

Давайте рассмотрим интеграл \(\int{x \sin(3x) \, dx}\) и решим его сначала методом подстановки, а затем методом интегрирования по частям.

Метод подстановки:

1. Выбор подстановки: Для подстановки выберем \(u = 3x\), тогда \(du/dx = 3\) и \(dx = du/3\).

2. Замена переменных: Заменим переменные в исходном интеграле: \[ \int{x \sin(3x) \, dx} = \int{\frac{u}{3} \sin(u) \, du} \]

3. Интегрирование: Теперь проинтегрируем полученный интеграл: \[ \frac{1}{3} \int{u \sin(u) \, du} = -\frac{1}{3}u \cos(u) + \frac{1}{3}\int{\cos(u) \, du} \]

4. Обратная подстановка: Вернемся к исходным переменным: \[ -\frac{1}{3}(3x) \cos(3x) + \frac{1}{3}\int{\cos(3x) \, dx} \]

Интегрирование по частям:

Теперь применим метод интегрирования по частям к последнему интегралу \(\frac{1}{3}\int{\cos(3x) \, dx}\):

\[ \begin{align*} u &= \cos(3x) \quad &dv &= dx \\ du &= -3\sin(3x)dx \quad &v &= x \end{align*} \]

Применим формулу интегрирования по частям:

\[ \frac{1}{3}\int{\cos(3x) \, dx} = \frac{1}{3}x\cos(3x) + \frac{1}{3}\int{3\sin(3x) \, dx} \]

Теперь объединим результаты:

\[ -\frac{1}{3}(3x) \cos(3x) + \frac{1}{3}\int{\cos(3x) \, dx} = -x\cos(3x) + \frac{1}{9}x\sin(3x) + C \]

где \(C\) - постоянная интеграции.

Таким образом, окончательный ответ:

\[ \int{x \sin(3x) \, dx} = -x\cos(3x) + \frac{1}{9}x\sin(3x) + C \]

где \(C\) - постоянная интеграции.