Question

Дан треугольник ABC. В нем провели отрезок BM так, что он разделил сторону AC на две равные части. Из вершины А провели отрезок АР, который разбил ВС на 2 равные части. ВМ и АР пересеклись в точке О. Найдите отношение АО к ОР

Answer 1

Это медианы. Они точкой пересечения делятся на 2 отрезка в отношении 2:1 начиная от вершины. 

Answer 2

Давайте обозначим длины отрезков следующим образом:

Пусть \( AM = MC = x \) (по условию, отрезок \( BM \) делит сторону \( AC \) на две равные части). Пусть \( BR = RC = y \) (по условию, отрезок \( AR \) делит сторону \( BC \) на две равные части).

Теперь у нас есть равенства для отрезков \( AM, MC, BR, RC \).

Так как отрезок \( AM \) делит сторону \( AC \) пополам, то \( AM + MC = AC \). Подставим значения:

\[ x + x = AC \]

Также, отрезок \( BR \) делит сторону \( BC \) пополам, то \( BR + RC = BC \). Подставим значения:

\[ y + y = BC \]

Теперь мы можем выразить длины отрезков \( AC \) и \( BC \) через \( x \) и \( y \):

\[ AC = 2x \] \[ BC = 2y \]

Точка \( O \) - точка пересечения отрезков \( VM \) и \( AR \). Поскольку \( AR \) делит сторону \( BC \) пополам, \( BR = RC = y \), то \( AO = AM + MO \), где \( MO \) - отрезок, который делится на две части точкой \( O \). Также, по теореме о пропорциональности треугольников \( ARO \) и \( BMO \), мы можем сказать, что:

\[ \frac{AO}{AM} = \frac{OR}{BM} \]

Теперь подставим значения:

\[ \frac{AO}{x} = \frac{OR}{BM} \]

Аналогично, из теоремы о пропорциональности треугольников \( BMO \) и \( ACO \), мы можем сказать, что:

\[ \frac{OR}{BM} = \frac{MO}{MC} \]

Подставим это в предыдущее уравнение:

\[ \frac{AO}{x} = \frac{MO}{MC} \]

Так как \( AM = MC = x \), упростим выражение:

\[ \frac{AO}{x} = \frac{MO}{x} \]

Теперь умножим обе стороны на \( x \):

\[ AO = MO \]

Таким образом, отношение \( AO \) к \( OR \) равно \( 1:1 \).

Итак, \( \frac{AO}{OR} = 1:1 \).