Question

Доказать равенство sin^4 a + cos^4 a - sin^6 a - cos^6 a = (sin^2 * 2a)/4

Answer 1

Sin^4 a + cos^4 a - sin^6 a - cos^6 a = (sin^2 * 2a)/4 
Сгруппируем
(sin^4  a - sin^6  a)  + (cos^4  a - cos^6  a) = (sin^2  2a)/4 
применив тождества      1- sin ^2  a = cos^2  a
                                          1 - cos^2  a = sin^2  a
имеем   
sin^4 a (1 – sin^2 a) + cos^4 a (1- cos^2 a) = (sin^2 * 2a)/4            
sin^4 a * cos^2 a + cos^4 a * sin^2 a = (sin^2 * 2a)/4                     
sin^2 a * cos^2 a (sin^2 a + cos^2 a) = (sin^2 * 2a)/4               
(4 *sin^2 a * cos^2 a)/4  = (sin^2 * 2a)/4                         
(sin^2 *2 a)/4 = (sin^2 * 2a)/4

Answer 2

Давайте рассмотрим левую и правую части выражения и постараемся доказать их равенство.

Левая часть: \( \sin^4(a) + \cos^4(a) - \sin^6(a) - \cos^6(a) \)

Попробуем выразить каждый из членов через квадрат синуса и косинуса. Воспользуемся тем, что \( \sin^2(a) + \cos^2(a) = 1 \):

1. \( \sin^4(a) = (\sin^2(a))^2 = (1 - \cos^2(a))^2 \) 2. \( \cos^4(a) = (\cos^2(a))^2 = (1 - \sin^2(a))^2 \) 3. \( \sin^6(a) = \sin^2(a) \cdot \sin^4(a) = (1 - \cos^2(a))(1 - \cos^2(a))^2 \) 4. \( \cos^6(a) = \cos^2(a) \cdot \cos^4(a) = (1 - \sin^2(a))(1 - \sin^2(a))^2 \)

Теперь подставим эти выражения в левую часть и упростим:

\[ \text{Левая часть} = (1 - \cos^2(a))^2 + (1 - \sin^2(a))^2 - (1 - \cos^2(a))(1 - \cos^2(a))^2 - (1 - \sin^2(a))(1 - \sin^2(a))^2 \]

Упрощаем:

\[ \text{Левая часть} = 1 - 2\cos^2(a) + \cos^4(a) + 1 - 2\sin^2(a) + \sin^4(a) - (1 - \cos^2(a))(1 - \cos^2(a))^2 - (1 - \sin^2(a))(1 - \sin^2(a))^2 \]

\[ \text{Левая часть} = 2 - 2(\cos^2(a) + \sin^2(a)) + \cos^4(a) + \sin^4(a) - (1 - \cos^2(a))(1 - \cos^2(a))^2 - (1 - \sin^2(a))(1 - \sin^2(a))^2 \]

\[ \text{Левая часть} = 2 - 2 + \cos^4(a) + \sin^4(a) - (1 - \cos^2(a))(1 - \cos^2(a))^2 - (1 - \sin^2(a))(1 - \sin^2(a))^2 \]

\[ \text{Левая часть} = \cos^4(a) + \sin^4(a) - (1 - \cos^2(a))^2(1 - \cos^2(a)) - (1 - \sin^2(a))^2(1 - \sin^2(a)) \]

\[ \text{Левая часть} = \cos^4(a) + \sin^4(a) - \cos^2(a)(1 - \cos^2(a))^2 - \sin^2(a)(1 - \sin^2(a))^2 \]

\[ \text{Левая часть} = \cos^4(a) + \sin^4(a) - \cos^2(a)(\cos^4(a) - 2\cos^2(a) + 1) - \sin^2(a)(\sin^4(a) - 2\sin^2(a) + 1) \]

\[ \text{Левая часть} = \cos^4(a) + \sin^4(a) - \cos^6(a) + 2\cos^4(a) - \cos^2(a) - \sin^6(a) + 2\sin^4(a) - \sin^2(a) \]

\[ \text{Левая часть} = \cos^4(a) + \sin^4(a) - \cos^6(a) + 2\cos^4(a) - \cos^2(a) - \sin^6(a) + 2\sin^4(a) - \sin^2(a) \]

Теперь обратим внимание, что \( \cos^4(a) + \sin^4(a) = (\cos^2(a) + \sin^2(a))^2 - 2\cos^2(a)\sin^2(a) \), а также \( \cos^2(a) + \sin^2(a) = 1 \). Тогда:

\[ \text{Левая часть} = (1 - 2\cos^2(a)\sin^2(a)) - \cos^6(a) + 2\cos^4(a) - \cos^2(a) - \sin^6(a) + 2\sin^4(a) - \sin^2(a) \]

\[ \text{Левая часть} = 1 - 2\cos^2(a)\sin^2(a) - \cos^6(a) + 2\cos^4(a) - \cos^2(a) - \sin^6(a) + 2\sin^4(a) - \sin^2(a) \]

\[ \text{Левая часть} = 1 - (\cos^2(a) - \sin^2(a))^2 - \cos^6(a) + 2\cos^4(a) - \cos^2(a) - \sin^6(a) + 2\sin^4(a) - \sin^2(a) \]

\[ \text{Левая часть} = 1 - \cos^4(a) + 2\cos^2(a)\sin^2(a) - \cos^6(a) + 2\cos^4(a) - \cos^2(a) - \sin^6(a) + 2\sin^4(a) - \sin^2(a) \]

\[ \text{Левая часть} = -\cos^6(a) + 3\cos^4(a) - 2\cos^2(a) - \sin^6(a) + 3\sin^4(a) - 2\sin^2(a) + 1 \]

Теперь давайте рассмотрим правую часть выражения:

\[ \frac{\sin^2(2a)}{4} \]

Мы знаем, что \( \sin^2(2a) = (1 - \cos^2(2a)) \). Тогда:

\[ \text{Правая часть} = \