Question

Найдите все значения x, при которых выполняется неравенство f' (x)≤0, если f(x)=2x^3-x^2

Answer 1

F'(x) = 6x² - 2x
6x² - 2x < 0      (ищем нули:  
 6х² -2х = 0, ⇒х(6х -2) = 0,⇒х = 0 или 6х -2 =0,⇒х = 0 или х = 1/3)
-∞            0             1/3           +∞
         +             -                +          это знаки производной
 Ответ: х∈(0; 1/3) 

Answer 2

Для решения данной задачи сначала найдем производную функции f(x). Затем мы найдем все значения x, при которых производная функции меньше или равна нулю.

Нахождение производной функции f(x)

Для нахождения производной функции f(x) = 2x^3 - x^2, мы будем использовать правило дифференцирования степенной функции и правило дифференцирования суммы и разности функций.

Для степенной функции f(x) = x^n, производная f'(x) равна n * x^(n-1).

Применяя это правило к первому слагаемому в функции f(x), получим:

f1(x) = 2x^3 f1'(x) = 3 * 2x^(3-1) = 6x^2

Применяя правило к второму слагаемому в функции f(x), получим:

f2(x) = -x^2 f2'(x) = -1 * 2x^(2-1) = -2x

Теперь найдем производную функции f(x) путем сложения производных f1'(x) и f2'(x):

f'(x) = f1'(x) + f2'(x) f'(x) = 6x^2 - 2x

Нахождение значений x, при которых f'(x) ≤ 0

Теперь найдем все значения x, при которых производная функции f'(x) меньше или равна нулю.

Для этого мы решим неравенство f'(x) ≤ 0:

6x^2 - 2x ≤ 0

Для начала, найдем значения x, при которых левая часть неравенства равна нулю:

6x^2 - 2x = 0

Вынесем общий множитель:

2x(3x - 1) = 0

Теперь решим уравнение:

2x = 0 => x = 0 3x - 1 = 0 => 3x = 1 => x = 1/3

Таким образом, значения x, при которых левая часть неравенства равна нулю, равны x = 0 и x = 1/3.

Теперь воспользуемся методом интервалов, чтобы определить, когда левая часть неравенства меньше нуля, а когда она больше нуля.

Интервалы, где f'(x) ≤ 0

Для этого выберем тестовую точку в каждом из интервалов, образованных значениями x = 0 и x = 1/3.

1. Выберем x = -1. Подставим эту точку в производную f'(x):

f'(-1) = 6(-1)^2 - 2(-1) = 6 - (-2) = 6 + 2 = 8

Так как f'(-1) > 0, то в интервале (-∞, 0) значение f'(x) > 0.

2. Выберем x = 1/2. Подставим эту точку в производную f'(x):

f'(1/2) = 6(1/2)^2 - 2(1/2) = 6(1/4) - 1 = 6/4 - 1 = 1.5 - 1 = 0.5

Так как f'(1/2) > 0, то в интервале (0, 1/3) значение f'(x) > 0.

3. Выберем x = 1. Подставим эту точку в производную f'(x):

f'(1) = 6(1)^2 - 2(1) = 6 - 2 = 4

Так как f'(1) > 0, то в интервале (1/3, ∞) значение f'(x) > 0.

Таким образом, значения x, при которых выполняется неравенство f'(x) ≤ 0, находятся в интервалах (-∞, 0] и [1/3, ∞).

Пожалуйста, обратите внимание, что значения x = 0 и x = 1/3 также включены в эти интервалы, так как у нас имеется равенство в неравенстве (f'(x) ≤ 0).