Question

Найти производные функций Y=-4х^5+1/3x^3+2; Y=(7+9x)^8; Y=x+5/x^2-1

Answer 1

1. (-4х⁵+1/3x³+2)¹=-4*5x⁴+1/3*3x²+0=-20x⁴+x²
2. ((7+9x)⁸)¹=8(7+9x)⁷*(7+9x)¹=9*8(7+9x)⁷=72(7+9x)⁷
3. (x+5/x²-1)¹=1+5*(-2)x⁻³+0=1-10/x³

Answer 2

Конечно, я помогу найти производные этих функций.

1. \(Y = -4x^5 + \frac{1}{3}x^3 + 2\)

Для нахождения производной функции \(Y\) по \(x\) используем правила дифференцирования:

\[Y' = \frac{d}{dx}(-4x^5) + \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3\right) + \frac{d}{dx}(2)\]

\[Y' = -20x^4 + x^2 + 0\] \[Y' = -20x^4 + x^2\]

2. \(Y = (7 + 9x)^8\)

Это функция вида \(Y = u^n\), где \(u = 7 + 9x\) и \(n = 8\). Применим правило дифференцирования степенной функции:

\[Y' = n \cdot u^{n-1} \cdot \frac{du}{dx}\]

Где \(u = 7 + 9x\). Теперь найдем производную \(\frac{du}{dx}\):

\[\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(7 + 9x)\] \[\frac{du}{dx} = 9\]

Теперь используем правило дифференцирования степенной функции:

\[Y' = 8 \cdot (7 + 9x)^{8-1} \cdot 9\] \[Y' = 72 \cdot (7 + 9x)^7\]

3. \(Y = \frac{x + 5}{x^2 - 1}\)

Это функция вида \(Y = \frac{u}{v}\), где \(u = x + 5\) и \(v = x^2 - 1\). Применим правило дифференцирования частного:

\[Y' = \frac{v \cdot \frac{du}{dx} - u \cdot \frac{dv}{dx}}{v^2}\]

Теперь найдем производные \(u\) и \(v\):

\[\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x + 5) = 1\] \[\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x\]

Подставим найденные значения в формулу производной частного:

\[Y' = \frac{(x^2 - 1) \cdot 1 - (x + 5) \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2}\] \[Y' = \frac{x^2 - 1 - 2x^2 - 10x}{(x^2 - 1)^2}\] \[Y' = \frac{-x^2 - 10x - 1}{(x^2 - 1)^2}\]

Это и есть производная функции \(Y = \frac{x + 5}{x^2 - 1}\).