Question

Длина и ширина прямоугольного параллелепипеда выражаются натуральным числом сантиметров, а высота 15 см . Можно ли утверждать, что объем (в кубических сантиметрах) этого параллелепипеда выражается числом: а)кратным 2; б)кратным 3; в)кратным 5?

Answer 1

a и b (см)- длина и ширина прямоугольного параллелепипеда

S=a*b см2)- площадь основания - натуральное число

V=S*15=S*3*5 - объем параллелепипеда

а)кратным 2;

Можно утвердать, при условии что S=четное число, тогда произведение четное*нечетное=четное и делится на 2

б)кратным 3; 

Можно утверждать, т.к. V=S*3*5, а если один из множителей делится на 3, то все произведение делится на 3

в)кратным 5?

Можно утверждать, т.к. V=S*3*5, а если один из множителей делится на 5, то все произведение делится на 5

Answer 2

Давайте обозначим длину, ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда как \(a\), \(b\) и \(h\) соответственно. Из условия известно, что высота \(h\) равна 15 см.

Таким образом, объем параллелепипеда выражается формулой:

\[V = a \cdot b \cdot h.\]

Поскольку длина и ширина выражаются натуральными числами, мы можем представить \(a\) и \(b\) в виде произведения двух натуральных чисел:

\[a = x \cdot y, \quad b = m \cdot n,\]

где \(x, y, m, n\) - натуральные числа.

Тогда объем можно переписать:

\[V = (x \cdot y) \cdot (m \cdot n) \cdot h = x \cdot m \cdot y \cdot n \cdot h.\]

Теперь давайте рассмотрим условия:

а) Кратность 2: Объем будет кратным 2, если \(x \cdot m \cdot y \cdot n \cdot h\) кратно 2. Это возможно, если хотя бы одно из чисел \(x, m, y, n\) - четное. Таким образом, объем может быть кратным 2.

б) Кратность 3: Объем будет кратным 3, если \(x \cdot m \cdot y \cdot n \cdot h\) кратно 3. Это возможно, если сумма степеней тройки в разложении на простые множители числа \(x \cdot m \cdot y \cdot n \cdot h\) делится на 3. Это может произойти, если высота \(h\) делится на 3.

в) Кратность 5: Объем будет кратным 5, если \(x \cdot m \cdot y \cdot n \cdot h\) кратно 5. Так как 5 - простое число, это возможно, только если одно из чисел \(x, m, y, n, h\) кратно 5.

Таким образом, можно утверждать следующее:

а) Объем может быть кратным 2. б) Объем может быть кратным 3, если высота делится на 3. в) Объем может быть кратным 5, если хотя бы одно из чисел \(x, m, y, n, h\) кратно 5.