Question

1. Задана функция y = x² + 4x + 3. Постройте его график и с помощью графика найдите: а) промежутки, в которых график возрастает; б) промежутки в которых график убывает; в) наименьшее значение функции; г) при каких значениях x y<0.

Answer 1

Y=x²+4x+3=(x+2)²-1
Строим параболу у=х²
х  -3    -2    -1    0    1    2    3
у  9      4      1    0    1   4    9
Сдвигаем ось оу на 2 вправа,а ось ох на 1 вверх
а)возр x∈[-2;∞)
б)убыв x∈(-∞;-2]
в)наим у=-1
г)y<0  x∈(-3;- -1)
График во вложении 

Answer 2

Для построения графика функции y = x² + 4x + 3, можно использовать следующие шаги:

1. Найдем вершину параболы, которая является точкой минимума функции. Для этого воспользуемся формулой -b/2a, где a и b - коэффициенты при x в уравнении функции. В данном случае a = 1, b = 4. Подставляем значения и получаем x = -4/2*1 = -2. Теперь подставляем найденное значение x в уравнение функции и находим y: y = (-2)² + 4*(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1.

Answer 3

Построение графика функции:

Для начала, построим график функции y = x² + 4x + 3. График можно построить, используя координатную плоскость.

Для этого, отметим несколько точек на графике, подставив различные значения x в уравнение функции и найдя соответствующие значения y.

Найдем значения y при x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3:

Подставим x = -3: y = (-3)² + 4(-3) + 3 y = 9 - 12 + 3 y = 0

Подставим x = -2: y = (-2)² + 4(-2) + 3 y = 4 - 8 + 3 y = -1

Подставим x = -1: y = (-1)² + 4(-1) + 3 y = 1 - 4 + 3 y = 0

Подставим x = 0: y = 0² + 4(0) + 3 y = 0 + 0 + 3 y = 3

Подставим x = 1: y = 1² + 4(1) + 3 y = 1 + 4 + 3 y = 8

Подставим x = 2: y = 2² + 4(2) + 3 y = 4 + 8 + 3 y = 15

Подставим x = 3: y = 3² + 4(3) + 3 y = 9 + 12 + 3 y = 24

Теперь, соединим полученные точки на координатной плоскости и получим график функции y = x² + 4x + 3:

   |
  24|     *
   |       *  
  15|         *  
   |           *
   |            *  
   |             *  
   |              *  
   |                *  
   |                  *  
   |                    *  
   |                      *  
   |                        *  
   |                          *  
   |_____________ * _______________  
   -3 -2 -1  0  1  2  3  

Промежутки, на которых график возрастает и убывает:

а) Промежутки, на которых график возрастает: График функции возрастает на интервалах, где производная функции положительна. Для нашей функции, найдем производную функции и найдем интервалы, на которых она положительна.

y = x² + 4x + 3

Для нахождения производной, применим правило дифференцирования функции вида f(x) = x^n:

f'(x) = nx^(n-1)

Производная функции y = x² + 4x + 3 будет равна:

y' = d/dx (x² + 4x + 3) = 2x + 4

Теперь найдем интервалы, на которых производная функции положительна:

2x + 4 > 0

2x > -4

x > -2

Таким образом, график функции возрастает на интервале (-бесконечность, -2) и (2, +бесконечность).

б) Промежутки, на которых график убывает: График функции убывает на интервалах, где производная функции отрицательна. Для нашей функции, найдем интервалы, на которых производная функции отрицательна.

2x + 4 < 0

2x < -4

x < -2

Таким образом, график функции убывает на интервале (-бесконечность, -2).

Наименьшее значение функции:

Наименьшее значение функции соответствует точке минимума графика функции. Для нахождения этой точки, найдем вершину параболы, т.е. значение x, при котором производная функции равна нулю.

2x + 4 = 0

2x = -4

x = -2

Таким образом, наименьшее значение функции будет при x = -2. Подставим это значение x в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение y:

y = (-2)² + 4(-2) + 3 y = 4 - 8 + 3 y = -1

Таким образом, наименьшее значение функции равно -1.

Значения x, при которых y < 0:

Чтобы найти значения x, при которых y < 0, подставим y < 0 в исходную функцию и решим полученное неравенство:

x² + 4x + 3 < 0

Для решения этого неравенства, можно использовать график функции. Видно, что график функции находится ниже оси x (y < 0) на интервалах (-бесконечность, -3) и (-1, -2).

Таким образом, значения x, при которых y < 0, находятся на интервалах (-бесконечность, -3) и (-1, -2).

Подведем итоги:

а) Промежутки, на которых график возрастает: (-бесконечность, -2) и (2, +бесконечность) б) Промежутки, на которых график убывает: (-бесконечность, -2) в) Наименьшее значение функции: -1 г) Значения x, при которых y < 0: (-бесконечность, -3) и (-1, -2)