Question

Найдите все такие простые числа p, при которых число p²+29 имеет ровно четыре различных делителя

Answer 1

P²+29=(p-1)(p+1)+30. Пусть p>3. Т.к. из трех последовательных чисел p-1, p, p+1 одно обязательно делится на 3, причем это число - не p, т.к. p - простое, значит (p-1)(p+1) делится на 3 и на 2 (т.к p+1 - четное). Значит, p²+29 делится на 6, т.е. имеет как минимум 5 делителей: 1,2,3,6 и само число p²+29, которое больше 6. Т.е. p>3 не подходят. Осталось проверить p=2 и p=3:
2²+29=33 имеет делители 1, 3, 11, 33.
3²+29=38 имеет делители 1, 2, 19, 3
Таким образом, ответ: p=2 и p=3.

Answer 2

Чтобы найти все простые числа p, при которых число p² + 29 имеет ровно четыре различных делителя, нам нужно рассмотреть все возможные значения p и проверить каждое из них.

Пусть p - простое число. Тогда p² + 29 имеет вид p² + 29 = p² + 1 + 28 = (p + 1)(p - 1) + 28.

Таким образом, чтобы число p² + 29 имело ровно четыре различных делителя, необходимо, чтобы выражение (p + 1)(p - 1) + 28 было произведением двух различных простых чисел.

Рассмотрим все возможные случаи:

1. Если p + 1 и p - 1 являются простыми числами, то (p + 1)(p - 1) + 28 = p² + 28 = p² + 1 + 27. Заметим, что 27 = 3³, поэтому p² + 1 + 27 имеет ровно четыре делителя только в случае, когда p² + 1 является кубом некоторого простого числа. Но таких простых чисел p не существует.

2. Если p + 1 = 2 и p - 1 является простым числом, то p = 1, что не является простым числом.

3. Если p + 1 является простым числом, а p - 1 = 2, то p = 3, что является простым числом. В этом случае (p + 1)(p - 1) + 28 = 4 * 2 + 28 = 36 = 2² * 3². Число 36 имеет ровно четыре различных делителя (1, 2, 3, 6), поэтому p = 3 является решением задачи.

Итак, единственное простое число p, при котором число p² + 29 имеет ровно четыре различных делителя, это p = 3.