Question

Решите неравенство: 1) x^2/2 ≤(6x-2)/9 2)14/(10x+5)(1-x) <0 Решите систему неравенств: 1)1-числитель(1- x)/знаменатель2<4-числитель(5+5x)/ знаменатель3 Найдите область определения выражения: y= корень из x^2+2(весь числитель под корнем)/x^2-4

Answer 1

1 задание. 
$\frac{x^2}{2}\leq\frac{6x-2}{9}|*18\\9x^2\leq12x-4\\9x^2-12x+4\leq0\\(3x-2)^2\leq0\to3x-2\leq0\\3x\leq2\\x\leq\frac{2}{3}$
x∈(–∞; $\frac{2}{3}$]

2 задание. 
$\frac{14}{(10x+5)(1-x)}\ \textless \ 0\\\left\{{{10x+5\ \textgreater \ 0}\atop{1-x\ \textgreater \ 0}}\right.\left\{{{10x\ \textgreater \ -5}\atop{-x\ \textgreater \ -1}}\right.\left\{{{x\ \textgreater \ -\frac{1}{2}}\atop{x\ \textless \ 1}}\right.$
x∈($-\frac{1}{2}$; 1)

3 задание. 
$1-\frac{1-x}{2}\ \textless \ 4-\frac{5+5x}{3}|*6\\6-(3-3x)\ \textless \ 24-(10+10x)\\6-3+3x\ \textless \ 24-10-10x\\3+3x\ \textless \ 14-10x\\3x+10x\ \textless \ 14-3\\13x\ \textless \ 11\\x\ \textless \ \frac{11}{13}$
x∈(–∞; $\frac{11}{13}$)

4 задание. 
$y=\frac{\sqrt{x^2+2}}{x^2-4}\\x^2-4=0\\x^2=4\to x=б\sqrt{4}$
D(f) = (–∞; –2)∪(–2; 2)∪(2; +∞)

Answer 2

Давайте поочередно решим данные математические задачи.

1. Решение неравенства:

\[ \frac{x^2}{2} \leq \frac{6x - 2}{9} \]

Для начала, умножим обе части неравенства на 18 (наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 9), чтобы избавиться от дробей:

\[ 9x^2 \leq 4(6x - 2) \]

Раскроем скобки:

\[ 9x^2 \leq 24x - 8 \]

Приравняем неравенство к нулю:

\[ 9x^2 - 24x + 8 \leq 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение. Можно воспользоваться дискриминантом \(D = b^2 - 4ac\):

\[ D = (-24)^2 - 4(9)(8) = 576 - 288 = 288 \]

Поскольку \(D > 0\), у нас есть два действительных корня. Теперь используем формулу для корней квадратного уравнения:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x_{1,2} = \frac{24 \pm \sqrt{288}}{18} \]

Таким образом, решение неравенства будет:

\[ x \in \left(-\infty, \frac{24 - \sqrt{288}}{18}\right] \cup \left[\frac{24 + \sqrt{288}}{18}, +\infty\right) \]

2. Решение неравенства:

\[ \frac{14}{(10x + 5)(1 - x)} < 0 \]

Здесь необходимо найти интервалы, на которых выражение меньше нуля. Рассмотрим каждый множитель отдельно:

- \((10x + 5)\) равно нулю при \(x = -0.5\) - \((1 - x)\) равно нулю при \(x = 1\)

Теперь построим таблицу знаков для каждого множителя и для всего выражения:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Интервал} & (10x + 5) & (1 - x) & \frac{14}{(10x + 5)(1 - x)} \\ \hline (-\infty, -0.5) & - & - & + \\ \hline (-0.5, 1) & + & - & - \\ \hline (1, +\infty) & + & + & + \\ \hline \end{array} \]

Таким образом, решение неравенства: \( x \in (-0.5, 1) \).

3. Решение системы неравенств:

\[ \begin{align*} 1 - \frac{(1 - x)}{2} & < 4 - \frac{(5 + 5x)}{3} \\ \end{align*} \]

Упростим выражение:

\[ \begin{align*} 1 - \frac{1 - x}{2} & < 4 - \frac{5 + 5x}{3} \\ \frac{1 + x}{2} & < \frac{7 - 5x}{3} \\ \end{align*} \]

Умножим обе части на 6 (наименьшее общее кратное 2 и 3):

\[ 3(1 + x) < 2(7 - 5x) \]

Раскроем скобки:

\[ 3 + 3x < 14 - 10x \]

Переносим все элементы на одну сторону:

\[ 13x < 11 \]

Таким образом, решение этой неравенства: \( x < \frac{11}{13} \).

4. Область определения выражения:

\[ y = \frac{\sqrt{x^2 + 2}}{x^2 - 4} \]

Для того чтобы выражение было определено, знаменатель не должен быть равен нулю, и подкоренное выражение не должно быть отрицательным.

1. Знаменатель не равен нулю: \[ x^2 - 4 \neq 0 \] \[ (x - 2)(x + 2) \neq 0 \]

Таким образом, область определения - все значения \(x\), кроме \(x = 2\) и \(x = -2\).

2. Подкоренное выражение неотрицательно: \[ x^2 + 2 \geq 0 \]

Это неравенство выполнено для всех действительных \(x\), так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен.

Таким образом, область определения выражения: \( x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty) \).