Question

Решите в вещественных числах уравнение √(x^2-8x+41)+√(y^2+6y+25)=9.

Answer 1

Первый корень не меньше 5, причем равенство достигается при x = 4: 
sqrt(x^2-8x+41)=sqrt((x-4)^2+25) >= 5
второй корень не меньше четырех, причем равенство достигается при y = -3:
sqrt(y^2+6y+25)=sqrt((y+3)^2+16) >= 4

сумма равна 9, если первый корень равен 5, а второй -3.

Ответ. (4,-3).

Answer 2

Конечно, давайте решим уравнение:

\[\sqrt{x^2-8x+41} + \sqrt{y^2+6y+25} = 9.\]

1. Начнем с изолирования одного из корней. Вычтем \(\sqrt{y^2+6y+25}\) из обеих сторон уравнения:

\[\sqrt{x^2-8x+41} = 9 - \sqrt{y^2+6y+25}.\]

2. Теперь возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[(\sqrt{x^2-8x+41})^2 = (9 - \sqrt{y^2+6y+25})^2.\]

Это приведет нас к уравнению:

\[x^2-8x+41 = 81 - 18\sqrt{y^2+6y+25} + y^2+6y+25.\]

3. Теперь упростим уравнение и приведем все члены на одну сторону:

\[x^2 - 8x + 41 - 81 + 18\sqrt{y^2+6y+25} - y^2 - 6y - 25 = 0.\]

\[x^2 - 8x - y^2 - 6y - 65 + 18\sqrt{y^2+6y+25} = 0.\]

4. Теперь выражение под корнем имеет вид \(y^2+6y+25\), что может быть преобразовано в \((y+3)^2\). Подставим это обратно в уравнение:

\[x^2 - 8x - y^2 - 6y - 65 + 18\sqrt{(y+3)^2} = 0.\]

5. Упростим далее:

\[x^2 - 8x - y^2 - 6y - 65 + 18|y+3| = 0.\]

6. Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(x\) и \(y\), и его можно решить, используя методы решения квадратных уравнений.

\[x^2 - 8x - y^2 - 6y - 65 + 18|y+3| = 0.\]

Однако, чтобы получить конкретное решение, нужны дополнительные условия (например, ограничения на \(x\) или \(y\)). Если есть дополнительные условия, пожалуйста, предоставьте их, и я постараюсь предоставить более конкретный ответ.