Question

Исследуйте функцию с помощью производной:y=x³+3x²

Answer 1

y=x³+3x²
y' = 3x²+6x
3x(x+3)=0
3x=0                      x+3=0
x=0                        x=-3
Функция возрастает на промежутке (0 ; 3)

Answer 2

Конечно, давайте исследуем функцию \( y = x^3 + 3x^2 \) с помощью производной.

1. Нахождение производной: Первым шагом найдем производную данной функции. Используем степенное правило для дифференцирования:

\[ \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 6x \]

2. Нахождение точек экстремума: Для нахождения экстремумов приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:

\[ 3x^2 + 6x = 0 \]

Получаем два решения: \( x = 0 \) и \( x = -2 \). Эти точки могут быть точками экстремума.

3. Определение характера экстремумов: Для определения характера экстремумов (минимум или максимум) используем вторую производную:

\[ \frac{d^2y}{dx^2} = 6x + 6 \]

Для \( x = 0 \): \( \frac{d^2y}{dx^2} = 6 \) (положительная вторая производная, следовательно, это минимум).

Для \( x = -2 \): \( \frac{d^2y}{dx^2} = -6 \) (отрицательная вторая производная, следовательно, это максимум).

4. Нахождение точек перегиба: Точки перегиба функции находятся там, где вторая производная равна нулю или не существует. В данном случае, таких точек нет, так как вторая производная всегда существует и не равна нулю.

5. Нахождение интервалов возрастания и убывания: Из анализа производной видно, что функция убывает на интервалах \((- \infty, -2)\) и \((-2, 0)\) и возрастает на интервале \((0, +\infty)\).

6. Нахождение значений функции в найденных точках: Подставим найденные точки (\(x = 0\) и \(x = -2\)) в исходную функцию и найдем соответствующие значения \(y\): - Для \(x = 0\): \(y = 0^3 + 3 \cdot 0^2 = 0\) - Для \(x = -2\): \(y = (-2)^3 + 3 \cdot (-2)^2 = -8 + 12 = 4\)

Таким образом, у нас есть минимум при \(x = 0\) и максимум при \(x = -2\), а также интервалы возрастания и убывания функции.