Question

Найти интегралы методом интегрирования по частям(4x^3+6x-7)lnxdx

Answer 1

*Красным правило написал, его не нужно переписывать

Answer 2

Используем метод интегрирования по частям для вычисления интеграла ∫(4x³ + 6x - 7)ln(x)dx.

Пусть u = ln(x) и dv = (4x³ + 6x - 7)dx. Тогда du = (1/x)dx и v = ∫(4x³ + 6x - 7)dx.

Вычисляем ∫(4x³ + 6x - 7)dx: ∫(4x³ + 6x - 7)dx = ∫4x³dx + ∫6xdx - ∫7dx = 4∫x³dx + 6∫xdx - 7∫dx = 4(x⁴/4) + 6(x²/2) - 7x + C = x⁴ + 3x² - 7x + C1, где C1 - произвольная постоянная.

Теперь применяем метод интегрирования по частям: ∫(4x³ + 6x - 7)ln(x)dx = u*v - ∫v*du = ln(x)(x⁴ + 3x² - 7x) - ∫(x⁴ + 3x² - 7x)*(1/x)dx = ln(x)(x⁴ + 3x² - 7x) - ∫(x³ + 3x - 7)dx = ln(x)(x⁴ + 3x² - 7x) - (∫x³dx + ∫3xdx - ∫7dx) = ln(x)(x⁴ + 3x² - 7x) - (x⁴/4 + 3x²/2 - 7x) = ln(x)(x⁴ + 3x² - 7x) - x⁴/4 - 3x²/2 + 7x + C2, где C2 - произвольная постоянная.

Таким образом, итоговый ответ: ∫(4x³ + 6x - 7)ln(x)dx = ln(x)(x⁴ + 3x² - 7x) - x⁴/4 - 3x²/2 + 7x + C2, где C2 - произвольная постоянная.