Question

Исследовать функцию и построить график этой функции 3x-2x^2/x-2.

Answer 1

Производная от У равна:
6Х - 1. Приравняв нулю, получим: 6Х=1, Х= 1/6

Значит, при Х= 1/6 существует экстремум функции - макимум или минимум.

Что именно - определять нужно по второй производной.

Answer 2

Дана функция f(x) = (3x - 2x^2) / (x - 2).

Чтобы исследовать функцию, мы должны установить ее область определения, асимптоты, экстремумы, интервалы возрастания и убывания, а также построить график функции.

1. Область определения (ОД): Функция имеет ограничение на знаменатель (x - 2) для избежания деления на ноль, поэтому ОД функции f(x) = R \ {2}, т.е. все значения x, кроме 2.

2. Асимптоты: а) Горизонтальная асимптота: чтобы найти ее, мы можем взять предел функции при x, стремящемся к бесконечности. lim(x→∞) (3x - 2x^2) / (x - 2) Делая домножение числителя и знаменателя на 1/x, получим: lim(x→∞) (3 - 2x) / (1 - 2/x) Так как x стремится к бесконечности, то 2/x стремится к нулю, и предел равен: lim(x→∞) (3 - 2x) / 1 = -2x

Таким образом, горизонтальная асимптота y = -2x.

б) Вертикальная асимптота: Чтобы найти вертикальную асимптоту, мы должны найти предел функции, когда x стремится к точке, которая не входит в ОД функции. В данном случае, эта точка - x = 2. lim(x→2) (3x - 2x^2) / (x - 2) Подставляем значение 2 вместо x и находим предел: lim(x→2) (6 - 8) / (2 - 2) = -∞

Таким образом, имеется вертикальная асимптота x = 2.

3. Экстремумы: Чтобы найти экстремумы функции, мы должны найти точки, где производная функции равна нулю или не существует.

Производная функции f(x): f'(x) = (3 - 4x) / (x - 2)^2

Чтобы найти точки, где производная равна нулю: (3 - 4x) = 0 4x = 3 x = 3/4

Таким образом, у нас есть одна критическая точка x = 3/4.

4. Интервалы возрастания и убывания: Для определения интервалов возрастания и убывания мы должны анализировать знак производной на промежутках между асимптотами и в окрестности критической точки.

a) Промежутки между асимптотами: Выберем произвольные значения x в таких интервалах и определим знаки производной.

Для x < 3/4: Выбираем x = 0: f'(0) = (3 - 4(0)) / (0 - 2)^2 = 3/4 > 0

Таким образом, возрастание на интервале (-∞, 3/4).

Для 3/4 < x < 2: Выбираем x = 1: f'(1) = (3 - 4(1)) / (1 - 2)^2 = -1 < 0

Таким образом, убывание на интервале (3/4, 2).

Для x > 2: Выбираем x = 3: f'(3) = (3 - 4(3)) / (3 - 2)^2 = 3/4 > 0

Таким образом, возрастание на интервале (2, ∞).

b) В окрестности критической точки: Выберем произвольные значения x в окрестности 3/4 и определим знаки производной.

Для x < 3/4: Выбираем x = 1/2: f'(1/2) = (3 - 4(1/2)) / (1/2 - 2)^2 = 3/16 > 0

Таким образом, возрастание в окрестности 3/4.

Для x > 3/4: Выбираем x = 1: f'(1) = (3 - 4(1)) / (1 - 2)^2 = -1 < 0

Таким образом, убывание в окрестности 3/4.

Таким образом, у функции есть локальный минимум в точке x = 3/4.

5. Построение графика функции: Используя полученные данные, мы можем построить график функции f(x).

На графике будет присутствовать горизонтальная асимптота y = -2x и вертикальная асимптота x = 2. Также будет видно, что функция возрастает на интервале (-∞, 3/4) и (2, ∞), и убывает на интервале (3/4, 2).

Локальный минимум будет находиться в точке (3/4, f(3/4)).

График функции будет выглядеть примерно следующим образом:

__ /| / \ / | / \ /__| / \ / | / \ / | _________/__________\_/_____|_________ | | | | | | -∞ 2 ∞