Question

Решить предел lim-0 sin8x/tg2x

Answer 1

От Неопределённости вида 0 / 0 избавляются путём разложения числителя и знаменателя дроби на множители и сокращения дроби. 1) 3x^2+11x+10 = ( х+2 ) (т 3х+5)
2) 2x^2+5x+2 = ( х+2) ( 2х+2)
После сокращения на множитель ( х+2) получим (3х+5) / (2х+2)
подставляя х= -2 получим 0,5 Ответ 0,5

Answer 2

Для решения предела lim(x->0) (sin(8x) / tan(2x)), мы можем использовать правило Лопиталя, которое позволяет нам вычислить пределы функций, если форма исходного предела является неопределенностью вида 0/0 или бесконечность / бесконечность.

Применим это правило, найдем производные функций в числителе и знаменателе предела.

Производная функции sin(8x) равна 8cos(8x), а производная функции tan(2x) равна 2sec^2(2x).

Теперь можем записать предел в новой форме, используя производные:

lim(x->0) (8cos(8x) / (2sec^2(2x)))

Мы все еще имеем предел с неопределенностью, так как в знаменателе присутствует sec^2(2x). Мы знаем, что sec^2(θ) = 1 / cos^2(θ), поэтому sec^2(2x) можно переписать как 1 / cos^2(2x).

Продолжим упрощать предел:

lim(x->0) (8cos(8x) / (2 / cos^2(2x)))

Переместим 2 в числитель:

lim(x->0) (8cos(8x) * cos^2(2x) / 2)

Упростим числитель, учитывая, что cos(2x) * cos^2(2x) = cos^3(2x):

lim(x->0) (8cos^3(2x) / 2)

8/2 = 4:

lim(x->0) 4cos^3(2x)

Теперь мы можем подставить x = 0 в исходное выражение и получим:

4cos^3(0)

cos(0) = 1:

4 * 1^3 = 4 * 1 = 4

Итак, предел lim(x->0) (sin(8x) / tan(2x)) равен 4.