Question

Найдите все значения p, при которых уравнение 4sinx+9=p(1+ctg^2x) имеет хотя бы один корень?

Answer 1

$4sinx+9=p(1+ctg^2x)\\ 4sinx+9=p(1+\frac{cos^2x}{sin^2x})\\ 4sinx+9=\frac{p}{sin^2x}\\ 4sin^3x+9sin^2x=p\\ sinx \neq 0\\ -1 \leq sinx \leq 1\\ sinx=t\\ f(x)=4sin^3x+9sin^2x\\ f'(x)=12cosxsin^2x+9sin2x\\ f--->max=>13\\ f--->min=>0$
 откуда и решения 
 $p \in (0;13]$

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение:

\[4 \sin x + 9 = p(1 + \cot^2 x)\]

Перепишем его, учитывая, что \(\cot^2 x = \frac{1}{\tan^2 x}\):

\[4 \sin x + 9 = p\left(1 + \frac{1}{\tan^2 x}\right)\]

Теперь выразим \(\tan x\) через \(\sin x\), используя тождество \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\). Заметим, что \(\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x}\):

\[\tan x = \frac{\sin x}{\sqrt{1 - \sin^2 x}}\]

Подставим это в уравнение:

\[4 \sin x + 9 = p\left(1 + \frac{1}{\left(\frac{\sin x}{\sqrt{1 - \sin^2 x}}\right)^2}\right)\]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[4 \sin x + 9 = p\left(1 + \frac{\sin^2 x}{1 - \sin^2 x}\right)\]

\[4 \sin x + 9 = p\left(\frac{1}{1 - \sin^2 x}\right)\]

Теперь приведем все слагаемые к общему знаменателю:

\[4 \sin x(1 - \sin^2 x) + 9(1 - \sin^2 x) = p\]

\[4 \sin x - 4 \sin^3 x + 9 - 9 \sin^2 x = p\]

\[4 \sin x - 4 \sin^3 x - 9 \sin^2 x + 9 = p\]

\[4 \sin x - 4 \sin^3 x - 9 \sin^2 x + 9 - p = 0\]

Теперь мы имеем уравнение, и мы хотим, чтобы оно имело хотя бы один корень. Это возможно, если дискриминант этого уравнения неотрицателен. Дискриминант можно выразить как:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a = -4\), \(b = 0\), \(c = -(4 \sin^3 x + 9 \sin^2 x - 4 \sin x + 9 - p)\).

Подставим значения:

\[D = 0 - 4(-4)(-(4 \sin^3 x + 9 \sin^2 x - 4 \sin x + 9 - p))\]

\[D = 16(4 \sin^3 x + 9 \sin^2 x - 4 \sin x + 9 - p)\]

Теперь, чтобы дискриминант был неотрицателен, необходимо, чтобы выражение в скобках было неотрицательным:

\[4 \sin^3 x + 9 \sin^2 x - 4 \sin x + 9 - p \geq 0\]

Это неравенство не имеет четкого решения без конкретного значения \(p\). Однако вы можете решить его численно для конкретных значений \(p\), чтобы определить интервалы \(p\), при которых уравнение имеет хотя бы один корень.