Question

Дана функция: f(x)=3x^2-x^31)Найти наименьшее значение функции y=f(x) на отрезке(-1,1) 2)Написать уравнение касательной к графику функции y=f(x),параллельной прямой 6x-2y=1

Answer 1

$> f(2)не ищем, так как эта точка не входит в промежуток 2) <img src=$
$y=3x-2;\\ 3x-y=2;\\ 6x-2y=4.$

Answer 2

Давайте разберемся с вашими вопросами.

1. Наименьшее значение функции на отрезке \((-1, 1)\):

У вас дана функция \(f(x) = 3x^2 - x^3\), и вам нужно найти минимальное значение на отрезке \((-1, 1)\). Для этого найдем критические точки, где производная равна нулю, и проверим их, а также концы отрезка.

a) Найдем производную функции \(f(x)\):

\[f'(x) = 6x - 3x^2\]

b) Решим уравнение \(f'(x) = 0\) для нахождения критических точек:

\[6x - 3x^2 = 0\]

\[3x(2 - x) = 0\]

Таким образом, \(x = 0\) и \(x = 2\) - критические точки.

c) Проверим значения функции в этих точках и на концах отрезка:

\[f(-1), f(0), f(1)\]

\[f(-1) = 3 - (-1)^3 = 4\]

\[f(0) = 0\]

\[f(1) = 3 - 1 = 2\]

Таким образом, минимальное значение функции на отрезке \((-1, 1)\) равно 0 и достигается в точке \(x = 0\).

2. Уравнение касательной к графику функции, параллельной прямой \(6x - 2y = 1\):

a) Прямая \(6x - 2y = 1\) можно представить в виде \(y = 3x - \frac{1}{2}\).

b) Касательная к графику функции \(y = f(x)\) в точке \((a, f(a))\) имеет уравнение:

\[y - f(a) = f'(a)(x - a)\]

Мы уже нашли производную \(f'(x) = 6x - 3x^2\), и минимальное значение достигается в точке \(a = 0\).

Таким образом, уравнение касательной к графику функции в точке \((0, 0)\) будет:

\[y - 0 = (6 \cdot 0 - 3 \cdot 0^2)(x - 0)\]

\[y = 0\]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции \(y = f(x)\) в точке \((0, 0)\), параллельной прямой \(6x - 2y = 1\), будет \(y = 0\).