Question

Помогите решить интеграл с заменой dx/(5x+4)^3 замена t=5x+4

Answer 1

$\int \frac{dx}{(5x+4)^3}=[\, t=5x+4,\; dt=5dx\, ]=\frac{1}{5}\int \frac{dt}{t^3}= \frac{1}{5}\int t^{-3} dt=\\\\=\frac{1}{5}\cdot \frac{t^{-2}}{-2}+C=-\frac{1}{10\, t^2}+C=-\frac{1}{10\, (5x+4)^2} +C$

Answer 2

Для решения данного интеграла с помощью замены необходимо последовательно выполнить несколько шагов:

1. Выполнить замену переменных t = 5x + 4. Для этого необходимо выразить x через t: x = (t - 4) / 5.

2. Найти производную новой переменной t по переменной x: dt/dx = 5.

3. Подставить полученное выражение для x в исходный интеграл, а также заменить dx на dt/dx: dx = dt/5.

4. Получаем новый интеграл: ∫(dx / (5x + 4)^3) = ∫((dt/5) / (5((t - 4)/5) + 4)^3) = ∫(dt / (25(t - 4) + 20)^3).

5. Упростим знаменатель: (25(t - 4) + 20)^3 = (25t - 100 + 20)^3 = (25t - 80)^3.

Теперь мы можем вычислить интеграл. Заметим, что в новом интеграле независимой переменной является t, а значит, переменную t можно рассматривать как константу при интегрировании. Итак, у нас имеется следующий интеграл:

∫(dt / (25t - 80)^3).

Для решения этого интеграла можно воспользоваться стандартными методами. В данном случае наиболее удобным является метод обратной замены. Обратная замена будет осуществляться по формуле:

∫(dt / u^n) = (1 / (n-1)) * (u^(-n+1)) + C,

где u = 25t - 80, n = 3.

Таким образом, получаем ответ:

∫(dx / (5x + 4)^3) = (1 / (3-1)) * ((25t - 80)^(-3+1)) + C = (1/2) * (1/(25t - 80)^2) + C,

где C - произвольная постоянная.