Question

Решить систему уравнений (1-2i)z1-iz2=0 2z1+(1+i)z2=1-i

Answer 1

Решение на картинке.

Answer 2

Давайте решим данную систему уравнений. Предположим, что \( z_1 = a + bi \) и \( z_2 = c + di \), где \( a, b, c, d \) - это действительные числа.

Исходная система уравнений:

\[ \begin{cases} (1-2i)z_1 - i z_2 = 0 \\ 2z_1 + (1+i)z_2 = 1-i \end{cases} \]

Подставим выражения для \( z_1 \) и \( z_2 \) и разделим на входящий коэффициент при \( z_2 \) в каждом уравнении:

1. Для первого уравнения:

\[ (1-2i)(a+bi) - i(c+di) = 0 \]

Раскроем скобки:

\[ (a-2ai-bi^2) - i(c+di) = 0 \]

Учтем, что \( i^2 = -1 \):

\[ (a+2b) + (d-ci) = 0 \]

2. Для второго уравнения:

\[ 2(a+bi) + (1+i)(c+di) = 1-i \]

Раскроем скобки:

\[ 2a + 2bi + c + ci + d - di = 1 - i \]

Сгруппируем действительные и мнимые части:

\[ (2a+c+d) + (2b+c-d)i = 1-i \]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[ \begin{cases} a+2b+d-c=0 \\ 2a+c+d+2b=1 \quad (1) \end{cases} \]

И

\[ \begin{cases} a+2b=1 \\ c-d=1 \quad (2) \end{cases} \]

Решим систему уравнений (2). Умножим первое уравнение на 2 и сложим его с вторым уравнением:

\[ 2(a+2b) + (c-d) = 2 \cdot 1 + 1 \]

\[ 2a + 4b + c - d = 3 \]

Теперь подставим это обратно в уравнение (1):

\[ \begin{cases} 2a+c+d+2b=1 \\ 2a+4b+c-d=3 \end{cases} \]

Вычтем из второго уравнения первое:

\[ 2a+4b+c-d - (2a+c+d+2b) = 3 - 1 \]

\[ -2b = 2 \implies b = -1 \]

Теперь подставим \( b \) в уравнение (2):

\[ a + 2(-1) = 1 \implies a = 3 \]

Теперь подставим \( a \) и \( b \) в уравнение (1):

\[ 2(3) + c + d - 2(-1) = 1 \]

\[ 6 + c + d + 2 = 1 \]

\[ c + d = -7 \]

Таким образом, решение системы уравнений:

\[ \begin{cases} a = 3 \\ b = -1 \\ c = -4 \\ d = -3 \end{cases} \]

Таким образом, \( z_1 = 3 - i \) и \( z_2 = -4 - 3i \).