Question

Решить уравнение прошууу 2^(x+1) = 7 + 2^(2-x)

Answer 1

Обозначим 2-х=у
Получим:
8*2^(-y)=7+2^y
Очевидно, у=0  - решение.
Т.к, слева функция монотонно уббывает с ростом у, а справа возрастает, то решение единственно.
2-х=0
х=2
Ответ: х=2

Answer 2

Перепишем уравнение в виде: 2^(x+1) = 7 + 2^(2-x)

Распишем степени 2 с помощью правила x^a * x^b = x^(a+b): 2^x * 2^1 = 7 + 2^2 * 2^(-x)

Упростим: 2^x * 2 = 7 + 2^(2-x)

Распишем 2^(2-x) в виде 1/2^x с использованием свойства b^(-a) = 1/(b^a): 2^x * 2 = 7 + 1/2^x

Теперь умножим обе части уравнения на 2^x для того, чтобы избавиться от знаменателя: 2^(x+1) * 2^x = 7 * 2^x + 1

Снова воспользуемся свойством a^b * a^c = a^(b+c): 2^(x+1+x) = 7 * 2^x + 1

Упростим: 2^(2x+1) = 7 * 2^x + 1

Теперь перепишем уравнение в виде квадратного уравнения: 2^(2x+1) - 7 * 2^x - 1 = 0

Для решения данного уравнения можно ввести новую переменную t = 2^x. Тогда уравнение примет вид: t^2 - 7t - 1 = 0

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся квадратным корнем: t = (7 ± √(7^2 - 4*(-1)))/2

t = (7 ± √(49 + 4))/2

t = (7 ± √53)/2

Теперь найдем значения переменной x, подставив обратно t = 2^x: 2^x = (7 ± √53)/2

Разрешим данное уравнение относительно x. Возьмем логарифм от обеих частей: x = log2((7 ± √53)/2)

Таким образом, решение исходного уравнения равно: x = log2((7 + √53)/2) и x = log2((7 - √53)/2)