Question

Помогите плиз. Интеграл (х^2*е^(3х))

Answer 1

$\int x^2\cdot e^{3x}\, dx=[\, u=x^2\; ,\; du=2x\, dx,\; dv=e^{3x}\, dx,\; v=\frac{1}{3}e^{3x}\, ]=\\\\=\frac{1}{3}x^2e^{3x}-\frac{2}{3}\int x\, e^{3x}\, dx=[\, u=x\; ,du=dx,\; dv=e^{3x}dx,\; v=\frac{1}{3}e^{3x}\, ]=\\\\=\frac{1}{3}x^2e^{3x}-\frac{2}{3}\cdot (\frac{1}{3}xe^{3x}-\frac{1}{3}\int e^{3x}\, dx)=\\\\=\frac{2}{3}x^2e^{3x}-\frac{2}{9}xe^{3x}+\frac{2}{27}e^{3x}+C=\frac{2}{27}e^{3x}\cdot (9x^2-3x+1)+C$

Answer 2

Интеграл от функции \( f(x) = x^2 \cdot e^{3x} \) можно рассчитать с помощью интегрирования по частям.

Итак, применим формулу интегрирования по частям, которая гласит:

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

В данном случае, выберем:

\[ u = x^2, \quad dv = e^{3x} \, dx \]

Тогда:

\[ du = 2x \, dx, \quad v = \frac{1}{3} e^{3x} \]

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

\[ \int x^2 \cdot e^{3x} \, dx = \frac{1}{3} x^2 \cdot e^{3x} - \int \frac{1}{3} e^{3x} \cdot 2x \, dx \]

Упростим выражение и проинтегрируем последнее слагаемое:

\[ \int \frac{1}{3} e^{3x} \cdot 2x \, dx = \frac{2}{3} \int x \cdot e^{3x} \, dx \]

Здесь мы получили интеграл похожего вида, но уже с \(u = x\) и \(dv = e^{3x} \, dx\). Снова применим интегрирование по частям:

\[ u = x, \quad dv = e^{3x} \, dx \quad \Rightarrow \quad du = dx, \quad v = \frac{1}{3} e^{3x} \]

Получаем:

\[ \int x \cdot e^{3x} \, dx = \frac{1}{3} x \cdot e^{3x} - \int \frac{1}{3} e^{3x} \, dx = \frac{1}{3} x \cdot e^{3x} - \frac{1}{9} e^{3x} \]

Подставляя обратно в исходное выражение, получаем:

\[ \int x^2 \cdot e^{3x} \, dx = \frac{1}{3} x^2 \cdot e^{3x} - \frac{2}{9} x \cdot e^{3x} + \frac{2}{27} e^{3x} + C \]

где \(C\) - произвольная постоянная.