Question

Решите интеграл: dx/(sin^2 (x)*(1+cos (x))

Answer 1

$\int \frac{dx}{sin^2x(1+cosx)} =[\; t=tg \frac{x}{2}\; ,\; sinx= \frac{2t}{1+t^2}\; ,\; cosx= \frac{1-t^2}{1+t^2}\; ,\\\\dx= \frac{2\, dt}{1+t^2} \; ]=\int \frac{2\, dt}{(1+t^2)\cdot \frac{4t^2}{(1+t^2)^2}\cdot (1+\frac{1-t^2}{1+t^2} )} =\int \frac{2\, dt}{\frac{4t^2}{1+t^2}\cdot \frac{1+t^2+1-t^2}{1+t^2} } =\\\\=\int \frac{(1+t^2)^2\, dt}{2t^2\cdot 2} = \frac{1}{4}\cdot \int \frac{1+2t^2+t^4}{t^2} dt= \frac{1}{4}\cdot \int (t^{-2}+2+t^2)dt=$

$= \frac{1}{4}\cdot \Big (\frac{t^{-1}}{-1}+2t+\frac{t^3}{3})= \frac{1}{4}\cdot (-\frac{1}{tg\frac{x}{2}}+2\, tg \frac{x}{2} + \frac{1}{3}\, tg^3\, \frac{x}{2})+C$

Answer 2

Для решения данного интеграла воспользуемся методом замены переменных.

Пусть t = tan(x/2). Тогда sin(x) = 2t/(1+t^2) и dx = 2dt/(1+t^2).

Также, заметим, что (1+cos(x)) = 2cos^2(x/2) = 2(1-t^2)/(1+t^2).

Подставим полученные выражения в исходный интеграл:

∫ dx/(sin^2(x)(1+cos(x))) = ∫ (2dt/(1+t^2)) / ((2t/(1+t^2))^2 * (1 - 2(1-t^2)/(1+t^2))) = = ∫ 2dt / (4t^2/(1+t^2)^2 * (t^2/(1+t^2))) = ∫ 2dt / (4t^2 * t^2/(1+t^2)^2) = = ∫ (1+t^2)^2 / (2t^2) dt.

Раскроем скобки в числителе:

∫ (1+t^2)^2 / (2t^2) dt = ∫ (1 + 2t^2 + t^4) / (2t^2) dt = = ∫ (1/2 + t^2 + 1/2t^2) dt = = 1/2 ∫ dt + ∫ t^2 dt + 1/2 ∫ (1/t^2) dt = = 1/2t + 1/3t^3 - 1/2t + C = = 1/3t^3 + 1/2t + C.

Возвращаясь к исходной переменной x, получаем окончательный результат:

∫ dx/(sin^2(x)(1+cos(x))) = 1/3tan^3(x/2) + 1/2tan(x/2) + C, где C - произвольная постоянная.