Question

Докажите что x/3+x^2/2+x^3/6 является целым числом при любом целом x помогите пожалуйста очень надо

Answer 1

(2х+3х²+х³)/6=х(х³+3х+2)/6=х(х+1)(х+2)/6
х(х+1)(х+2)-это произведение трех последовательных чисел.Из них одно обязательно четное, а другое кратно 3.Значит произведение будет кратно 2 и 3,т.е.делится нацело на 6.

Answer 2

Для доказательства, что выражение x/3 + x^2/2 + x^3/6 является целым числом при любом целом x, воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Проверка базового случая Подставим x = 1. Получаем (1/3) + (1/2) + (1/6) = (2/6) + (3/6) + (1/6) = 6/6 = 1, что является целым числом. Базовый случай проверен.

Шаг 2: Индукционное предположение Предположим, что при x = k выражение x/3 + x^2/2 + x^3/6 является целым числом.

Шаг 3: Доказательство индукционного шага Рассмотрим выражение для x = k+1: (k+1)/3 + (k+1)^2/2 + (k+1)^3/6 = = (k+1)/3 + (k^2 + 2k + 1)/2 + (k^3 + 3k^2 + 3k + 1)/6 = = (k^3 + 3k^2 + 3k + 2k^2 + 4k + 2 + k^3 + 3k^2 + 3k + 1)/6 = = (2k^3 + 8k^2 + 10k + 3)/6 = = (k^3 + 4k^2 + 5k)/3.

Используя наше индукционное предположение, мы можем сказать, что k^3 + 4k^2 + 5k делится на 3 без остатка для любого целого k.

Таким образом, выражение (k+1)/3 + (k+1)^2/2 + (k+1)^3/6 является целым числом при любом целом k.

Исходя из базового случая и индукционного шага, мы можем сделать вывод, что x/3 + x^2/2 + x^3/6 является целым числом при любом целом x.