Question

Вычеслить площадь фигуры, ограниченной линиями y=-x2+2;y=-x

Answer 1

Всё подробно написала в решении.....................

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми линиями y=-x^2+2 и y=-x, нужно найти точки их пересечения и провести границы интегрирования.

Для начала найдем точки пересечения. Подставим y одного уравнения в другое: -x^2+2=-x

Перенесем все элементы в одну сторону: -x^2+x+2=0

Мы получили квадратное уравнение. Решим его, используя квадратное уравнение.

D = b^2 - 4ac = 1 - 4*(-1)*2 = 1 + 8 = 9

x1,2 = (-b ± √D) / 2a x1,2 = (-1 ± 3) / (2*(-1)) x1 = (1 + 3) / (-2) = -2 x2 = (1 - 3) / (-2) = 1

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (-2, -2) и (1, -1).

Для определения границ интегрирования возьмем меньшее значение x, т.е. -2, и большее значение x, т.е. 1.

Зная выражение для площади между двумя кривыми y=f(x) и y=g(x) на интервале [a, b], она вычисляется следующим образом:

S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx

В нашем случае, f(x) = -x^2+2 и g(x) = -x, поэтому:

S = ∫[-2,1] (-x^2+2 + x) dx

Вычислим этот интеграл:

S = ∫[-2,1] (-x^2 + x + 2) dx = [-1/3x^3 + 1/2x^2 + 2x] ∣[-2,1]

S = [(-1/3 * 1^3 + 1/2 * 1^2 + 2*1) - (-1/3 * (-2)^3 + 1/2 * (-2)^2 + 2*(-2))]

S = [-1/3 + 1/2 + 2 - (-8/3 + 2 + (-4))]

S = [-1/3 + 1/2 + 2 + 8/3 - 2 - (-4)]

S = [-3/6 + 6/6 + 12/6 + 16/6 - 12/6 + 24/6]

S = 43/6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками уравнений y=-x^2+2 и y=-x, равна 43/6 или примерно 7.17 квадратных единиц.