Question

Провести полное исследование функции f(x)=x^3-5x^2+1определить четность,нечетность,монотонность и экстремумы,выпуклость и точки перегиба,пересечение с осями координат,знаки функции

Answer 1

Функция не четная, не нечетная
производная 3х^2-10x =x*(3x-10)
> 0 x>10/3 и x<0   здесь ф-я возрастает, а при х от 0 до 10/3 убывает

прооизводная равна 0 при х=0 и х=10/3

в первом случае знак произв. меняется с + на -   максимум, во втором с -на + это минимум

для выпуклости нужна вторая производная 6х-10
точка перегиба 6х-10=0  х=10/6=5/3

Answer 2

Для проведения полного исследования функции f(x) = x^3 - 5x^2 + 1, начнем с определения области определения функции. Поскольку функция является полиномом, она определена для любого значения x.

1. Определение четности и нечетности функции: Чтобы определить, является ли функция f(x) четной или нечетной, нужно проверить, сохраняется ли f(x) при замене x на -x. Подставим -x в функцию f(x): f(-x) = (-x)^3 - 5(-x)^2 + 1 = -x^3 - 5x^2 + 1 Как видим, f(-x) не равно f(x), поэтому функция не является ни четной, ни нечетной.

2. Определение монотонности и экстремумов: Для определения монотонности функции f(x) возьмем ее производную и проанализируем знаки производной: f'(x) = 3x^2 - 10x Для определения знаков производной, найдем ее корни: 3x^2 - 10x = 0 x(3x - 10) = 0 Таким образом, x = 0 и x = 10/3 - корни уравнения f'(x). Теперь построим таблицу знаков производной: x < 0 0 < x < 10/3 x > 10/3 f'(x) < 0 + f'(x) > 0 + Данная таблица показывает, что функция f(x) возрастает на интервале (0, 10/3) и убывает на интервалах (-∞, 0) и (10/3, +∞). То есть, функция имеет максимум в точке x = 10/3 и минимум в точке x = 0.

3. Определение выпуклости и точек перегиба: Чтобы найти точки перегиба и определить, является ли функция выпуклой или вогнутой, возьмем вторую производную функции: f''(x) = 6x - 10 Для нахождения точек перегиба приравняем фторую производную к нулю и найдем ее корень: 6x - 10 = 0 6x = 10 x = 10/6 = 5/3 f''(5/3) = 6(5/3) - 10 = 2 - 10 = -8 < 0 Знак отрицательный, поэтому функция f(x) является вогнутой на всей области определения. Точка перегиба находится при x = 5/3.

4. Пересечение с осями координат: Для определения пересечения с осью OX приравняем функцию f(x) к нулю и решим уравнение: x^3 - 5x^2 + 1 = 0 Для нахождения точных корней данного уравнения используем численные методы или графический метод. Оси OY функция пересекает в точке (0, 1), так как f(0) = 0^3 - 5(0)^2 + 1 = 1.

5. Знаки функции: Для определения знаков функции f(x), можно построить таблицу знаков, используя значения производной и корни уравнения f(x) = 0: x < 0 0 < x < 10/3 x > 10/3 f(x) > 0 - f(x) < 0 + Функция f(x) положительна на интервале (-∞, 0) и (10/3, +∞), и отрицательна на интервале (0, 10/3).