Question

Помогите вычислить: интеграл от 0 до п/2 cos^3x dx

Answer 1

Найдём ∫cos³xdx=∫cos²xcosxdx=∫(1-sin²x)cosxdx=∫cosxdx-∫sin²xcosxdx=sinx-∫sin²xdsinx=sinx-sin³x/3
∫от 0 до π/2=(sinx-sin³x/3)|π/2
                                             |⁰    =(sinπ/2-sin³π/2/3)-(sin0-sin³0/3)=1-1/3-0-0=2/3

Answer 2

Для вычисления данного интеграла, нам нужно использовать формулу замены переменной или метод интегрирования по частям.

Используя метод интегрирования по частям, мы можем применить формулу:

∫ u dv = uv - ∫ v du

Для начала, давайте заметим, что cos^3(x) можно представить в виде (cos(x))^2 * cos(x).

Обозначим u = (cos(x))^2 и dv = cos(x) dx. Тогда du = -2cos(x)sin(x) dx и v = sin(x).

Применяя формулу интегрирования по частям, получим:

∫ cos^3(x) dx = ∫ u dv = uv - ∫ v du = (cos(x))^2 * sin(x) - ∫ sin(x) (-2cos(x)sin(x)) dx = (cos(x))^2 * sin(x) + 2 ∫ (sin(x))^2 cos(x) dx

Теперь мы имеем два интеграла. Первый интеграл уже решен:

∫ (cos(x))^2 * sin(x) dx можно вычислить, используя формулу замены переменной и интегрирование по частям.

Обозначим t = cos(x), тогда dt = -sin(x) dx.

Таким образом, ∫ (cos(x))^2 sin(x) dx = -∫ t^2 dt = -t^3 / 3 = - (cos(x))^3 / 3.

Теперь вернемся ко второму интегралу:

∫ (sin(x))^2 cos(x) dx.

Для его решения, обратим внимание на тот факт, что (sin(x))^2 = 1 - (cos(x))^2. Тогда получаем:

∫ (sin(x))^2 cos(x) dx = ∫ (1 - (cos(x))^2) cos(x) dx = ∫ cos(x) dx - ∫ (cos(x))^3 dx = sin(x) - ∫ (cos(x) )^3 dx

Таким образом, второй интеграл оказывается снова исходным интегралом от cos^3(x). Значит, мы можем записать:

∫ (sin(x))^2 cos(x) dx = sin(x) - ∫ (cos(x))^3 dx = sin(x) - (- (cos(x))^3 / 3).

Теперь, зная значения обоих интегралов, мы можем записать окончательный ответ:

∫ cos^3(x) dx = (cos(x))^2 * sin(x) + 2 ∫ (sin(x))^2 cos(x) dx = (cos(x))^2 * sin(x) + 2 (sin(x) - (- (cos(x))^3/3)) = (cos(x))^2 * sin(x) + 2 sin(x) + 2/3 (cos(x))^3 + C,

где C - произвольная постоянная.