Question

Исследовать данные функции методами дифференцированного исчисления и построить их графики. при исследовании функции следует найти ее интервалы возрастания и убывания и точки экстремума, интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции. y=(2x-3)(x^2+1) , y=2x^3-3x^2-5

Answer 1

Y=2&!-&&44x℅®_¥°°||π=√||√ππ√

Answer 2

Для исследования данных функций методами дифференцированного исчисления и построения их графиков, воспользуемся следующим алгоритмом:

1. Найдите производную функции. Для этого возьмите каждое слагаемое в функции и продифференцируйте его по переменной x, затем сложите полученные производные. Для первой функции y=(2x-3)(x^2+1) получим:

y' = (2x-3)(2x) + (x^2+1)(2) = 4x^2 - 6x + 2x^2 + 2 = 6x^2 - 6x + 2

А для второй функции y=2x^3-3x^2-5:

y' = 6x^2 - 6x

2. Найдите точки, в которых производная равна нулю или не существует. Для этого решите уравнение 6x^2 - 6x + 2 = 0. Найденные корни будут точками экстремума функции. Для второй функции, решите уравнение 6x^2 - 6x = 0 для нахождения точек экстремума.

Для первой функции, решением уравнения 6x^2 - 6x + 2 = 0 является:

x = (-(-6) ± √((-6)^2 - 4*6*2))/(2*6) = (6 ± √(36 - 48))/12 = (6 ± √(-12))/12

Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет вещественных корней, и следовательно, у функции нет точек экстремума.

Для второй функции, решением уравнения 6x^2 - 6x = 0 является:

x = 0 и x = 1

3. Найдите интервалы возрастания и убывания функции, используя значения производной. Для этого анализируйте знак производной на разных интервалах.

Для первой функции, знак производной 6x^2 - 6x + 2 = 0 зависит от значения x. Найдем значения x, которые делают производную равной нулю:

6x^2 - 6x + 2 = 0

Дискриминант D = (-6)^2 - 4*6*2 = 36 - 48 = -12 < 0

Значит, уравнение не имеет решений и производная не меняет знака. Следовательно, функция не имеет интервалов возрастания или убывания.

Для второй функции, производная 6x^2 - 6x = 0 равна нулю в точках x = 0 и x = 1. Анализируя знак производной на интервалах (-∞, 0), (0, 1) и (1, +∞), можно установить, что функция возрастает на интервалах (1, +∞) и убывает на интервалах (-∞, 0) и (0, 1).

4. Найдите интервалы выпуклости и вогнутости функции. Для этого проанализируйте знак второй производной.

Для первой функции, найдем вторую производную:

y'' = (6x^2 - 6x + 2)' = 12x - 6

Знак второй производной зависит от значения x. Уравнение 12x - 6 = 0 имеет решение x = 1/2. Анализируя знак второй производной на интервалах (-∞, 1/2) и (1/2, +∞), можно установить, что функция выпукла на интервале (-∞, 1/2) и вогнута на интервале (1/2, +∞).

Для второй функции, вторая производная равна:

y'' = (6x^2 - 6x)' = 12x - 6

Знак второй производной зависит от значения x. Уравнение 12x - 6 = 0 имеет решение x = 1/2. Анализируя знак второй производной на интервалах (-∞, 1/2) и (1/2, +∞), можно установить, что функция выпукла на интервале (-∞, 1/2) и вогнута на интервале (1/2, +∞).

5. Найдите точки перегиба графика функции, используя значения второй производной. Для этого решите уравнение 12x - 6 = 0.

Решением уравнения 12x - 6 = 0 является x = 1/2. Таким образом, точка перегиба графика функции находится в точке x = 1/2.

Теперь можно построить графики данных функций и отметить найденные интервалы возрастания и убывания, точки экстремума, интервалы выпуклости и вогнутости, а также точки перегиба.