Question

посчитать определенный интегралпределы интегрирования от 0 до 8,а сам интеграл 1/(1+ (кубический корень из х)) по dx

Answer 1

Int dx / V(ax^2 + bx + c) = 1/V(a) * ln |2ax + b +2V(a) * V(ax^2 + bx + c)| + C
В нашем случае
Int (от 0 до 1) dx / V(x^2 - 2x + 2) = ln |2x - 2 + 2V(x^2 - 2x + 2)| (от 0 до 1) = ln |2 - 2 + 2V(1 - 2 + 2)| - ln |0 - 2 + 2V(0 - 0 + 2)| =
= ln 2 - ln |2V(2) - 2| = ln (V(2) + 1)

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем использовать метод замены переменной. Давайте начнем с введения новой переменной:

Пусть u = (кубический корень из x). Тогда, x = u^3, и dx = 3u^2 du.

Теперь мы можем переписать наш интеграл в терминах переменной u:

∫(1 / (1 + (кубический корень из x))) dx = ∫(1 / (1 + u)) * 3u^2 du.

Теперь нам нужно найти новые пределы интегрирования для переменной u. Когда x = 0, u = (кубический корень из 0) = 0. Когда x = 8, u = (кубический корень из 8) = 2.

Таким образом, новые пределы интегрирования будут от u = 0 до u = 2.

Теперь мы можем переписать наш интеграл:

∫(1 / (1 + u)) * 3u^2 du = 3∫(u^2 / (1 + u)) du.

Чтобы решить этот интеграл, мы можем использовать метод частичной дробей. Давайте проведем разложение на простейшие дроби:

(u^2 / (1 + u)) = A / (1 + u) + B * u,

где A и B - неизвестные коэффициенты, которые мы должны найти.

Перемножим обе части уравнения на (1 + u), получим:

u^2 = A + B * u * (1 + u).

Теперь мы можем приравнять коэффициенты при одинаковых степенях u:

1. Для коэффициента при u^2: 0 = B. 2. Для коэффициента при u^1: 0 = A + B.

Отсюда получаем, что A = 0 и B = 0.

Теперь мы можем переписать наш исходный интеграл:

3∫(u^2 / (1 + u)) du = 3∫(0 / (1 + u)) du + 3∫(0 * u) du.

Таким образом, наше новое выражение для интеграла равно нулю.

Итак, определенный интеграл от 0 до 8 для данной функции равен 0.