Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2;y=2x;y=x

Answer 1

На участке от 0 до 1 функция ограничена сверху прямой у=2х,а снизу прямой у=х. На участке от 1 до 2 ограничена сверху прямойу=2х,а снизу параболой.
$S= \int\limits^1_0 {(2x-x)} \, dx + \int\limits^2_1 {(2x-x^2)} \, dx =$$x^2/2|^1_0+(x^2-x^3/3)|^2_1=1/2+4-8/3-1+1/3=7/6$

Answer 2

1234456+656789-68988=

Answer 3

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=x^2, y=2x и y=x, мы должны найти точки пересечения этих линий. Затем мы можем использовать интеграл для вычисления площади под кривыми.

Давайте начнем с нахождения точек пересечения.

Для начала, найдем точку пересечения между линиями y=x^2 и y=2x. Поставим эти уравнения равными друг другу и решим полученное уравнение:

x^2 = 2x

Перенесем все в одну сторону:

x^2 - 2x = 0

x(x - 2) = 0

Таким образом, получаем две возможные точки пересечения: x=0 и x=2.

Теперь найдем точку пересечения между линиями y=x и y=2x. Поставим эти уравнения равными друг другу и решим полученное уравнение:

x = 2x

Получаем единственную точку пересечения: x=0.

Таким образом, у нас есть три точки пересечения: (0, 0), (0, 0) и (2, 4).

Теперь мы можем использовать интеграл для вычисления площади фигуры, ограниченной этими линиями.

Вычисление площади

Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривыми, мы можем использовать следующую формулу:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx

где a и b - границы интегрирования, f(x) и g(x) - функции, ограничивающие фигуру.

В нашем случае, f(x) = x^2, g(x) = x и границы интегрирования a=0 и b=2.

Таким образом, площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2, y=2x и y=x равна:

S = ∫[0, 2] (x^2 - x) dx

Давайте проинтегрируем это выражение:

S = [1/3 * x^3 - 1/2 * x^2] |[0, 2]

Подставим границы интегрирования:

S = (1/3 * 2^3 - 1/2 * 2^2) - (1/3 * 0^3 - 1/2 * 0^2)

S = (8/3 - 4) - (0 - 0)

S = 8/3 - 4

S = 8/3 - 12/3

S = -4/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2, y=2x и y=x равна -4/3 квадратных единиц.