Question

Задача Коши. Очень прошу с разъяснениями (2x^2 -x)dx - (3y - 2)dy = 0 x=1; y =1

Answer 1

(2x^2-x)dx=(3y-2)dy, 2x^3/3-x^2/2=3y^2/2-2y+С, 2x^3/3-x^2/2-3y^2/2+2y=C, при x=y=1 C=2/3

              

Answer 2

Постановка задачи Коши обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) включает в себя задание начальных условий, которые позволяют нам найти конкретное решение этого уравнения. В вашем случае, задача Коши состоит в решении следующего уравнения:

(2x^2 - x)dx - (3y - 2)dy = 0, при x = 1 и y = 1.

Решение:

Для начала, давайте разберемся, что означает само уравнение. У вас есть дифференциальное уравнение первого порядка, где dx и dy представляют себя как независимые переменные. Вам нужно найти функцию, которая удовлетворяет этому уравнению, при условии, что x = 1 и y = 1.

Давайте начнем с решения дифференциального уравнения. Ваше уравнение можно переписать в следующем виде:

(2x^2 - x)dx = (3y - 2)dy

Теперь мы можем проинтегрировать обе части уравнения. Интегрируя левую часть, получаем:

∫(2x^2 - x)dx = ∫(3y - 2)dy

Для интегрирования каждой части уравнения нам понадобится знание правил интегрирования. Проинтегрируем каждую часть по отдельности:

∫(2x^2 - x)dx = (2/3)x^3 - (1/2)x^2 + C1

∫(3y - 2)dy = (3/2)y^2 - 2y + C2

Здесь C1 и C2 - произвольные постоянные интегрирования.

Теперь, вернемся к исходному уравнению и подставим полученные результаты:

(2/3)x^3 - (1/2)x^2 + C1 = (3/2)y^2 - 2y + C2

Теперь у нас есть уравнение, связывающее x и y. По условию задачи Коши, мы знаем, что x = 1 и y = 1. Подставим эти значения в уравнение:

(2/3)(1)^3 - (1/2)(1)^2 + C1 = (3/2)(1)^2 - 2(1) + C2

2/3 - 1/2 + C1 = 3/2 - 2 + C2

2/3 - 1/2 + C1 = -1/2 + C2

Теперь мы можем использовать начальные условия, чтобы найти значения постоянных C1 и C2. Исходя из условий x = 1 и y = 1, мы можем записать следующие уравнения:

2/3 - 1/2 + C1 = -1/2 + C2

C1 = -1/2 + C2 - 2/3 + 1/2

C1 = -2/3 + C2

Теперь мы можем выбрать произвольное значение для C2 (например, C2 = 0) и использовать его, чтобы найти C1:

C1 = -2/3 + 0

C1 = -2/3

Таким образом, у нас есть значения постоянных C1 = -2/3 и C2 = 0.

Итак, решение исходной задачи Коши будет выглядеть следующим образом:

(2x^2 - x)dx - (3y - 2)dy = 0

(2/3)x^3 - (1/2)x^2 - (2/3) = (3/2)y^2 - 2y

где x = 1 и y = 1.