Question

Найдите производную функцию : 1. y=(x^2-1)(x^4+2) 2.y=(x^3+1)sqrt x 3.y=x^3/2x+4 4.y=x^2/x^2-1

Answer 1

1.
$y=(x^2-1)(x^4+2) = x^6 - x^4 + 2x^2 - 2\\ y' = 6x^5-4x^3+4x$

2.
$y=(x^3+1) \cdot \sqrt{x}\\ y' = (x^3+1)' \cdot \sqrt{x} + (x^3+1) \cdot (\sqrt{x})' = 3x^2\sqrt{x} + \frac{x^3+1}{2\sqrt{x}}$

3.
$y=\frac{x^3}{2x+4}\\ y'=\frac{(x^3)' \cdot (2x+4) - x^3 \cdot (2x+4)'}{(2x+4)^2} = \frac{- x^3+12x^2}{4x^2+16x+16}$

4.

$y=\frac{x^2}{x^2 - 1}\\ y' = \frac{2x(x^2 - 1) - 2x \cdot x^2}{(x^2 - 1)^2}$

Answer 2

Для нахождения производной каждой из данных функций, мы будем использовать правила дифференцирования, такие как правило производной произведения, правило производной суммы, правило производной степенной функции и правило производной частного функций. Давайте рассмотрим каждую функцию по отдельности:

1. y = (x^2 - 1)(x^4 + 2) + 2

Для нахождения производной этой функции, мы будем использовать правило производной произведения функций. Правило производной произведения гласит: если у нас есть функция f(x) = g(x) * h(x), то производная этой функции равна f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x).

В данном случае, g(x) = (x^2 - 1) и h(x) = (x^4 + 2). Теперь найдем производные функций g(x) и h(x) и подставим их в формулу:

g'(x) = 2x h'(x) = 4x^3

Теперь, подставляя значения производных в формулу, получаем:

y' = (2x)(x^4 + 2) + (x^2 - 1)(4x^3) = 2x^5 + 4x + 8x^3 - 4x^3 - 2x = 2x^5 + 4x^3 + 6x

Таким образом, производная функции y = (x^2 - 1)(x^4 + 2) + 2 равна y' = 2x^5 + 4x^3 + 6x.

2. y = (x^3 + 1)sqrt(x) + 3

Для нахождения производной этой функции, мы будем использовать правило производной суммы функций и правило производной степенной функции. Правило производной суммы гласит: если у нас есть функция f(x) = g(x) + h(x), то производная этой функции равна f'(x) = g'(x) + h'(x). Правило производной степенной функции гласит: если у нас есть функция f(x) = x^n, то производная этой функции равна f'(x) = n * x^(n-1).

В данном случае, g(x) = (x^3 + 1) и h(x) = sqrt(x). Теперь найдем производные функций g(x) и h(x) и подставим их в формулу:

g'(x) = 3x^2 h'(x) = (1/2) * x^(-1/2) = (1/2) * (1/sqrt(x)) = 1 / (2sqrt(x))

Теперь, подставляя значения производных в формулу, получаем:

y' = (3x^2) + ((x^3 + 1) * (1 / (2sqrt(x)))) = 3x^2 + (x^3 + 1) / (2sqrt(x))

Таким образом, производная функции y = (x^3 + 1)sqrt(x) + 3 равна y' = 3x^2 + (x^3 + 1) / (2sqrt(x)).

3. y = x^(3/2x) + 4

Для нахождения производной этой функции, мы будем использовать правило производной степенной функции и правило производной сложной функции. Правило производной сложной функции гласит: если у нас есть функция f(x) = g(h(x)), то производная этой функции равна f'(x) = g'(h(x)) * h'(x).

В данном случае, g(x) = x^(3/2x) и h(x) = 3/2x. Теперь найдем производные функций g(x) и h(x) и подставим их в формулу:

g'(x) = (3/2x) * x^(3/2x - 1) = (3/2x) * (1/x^(1 - 3/2x)) = (3/2x) * (1/x^(2 - 3/2x)) = (3/2x) * (1/x^(2 - 3/2x)) h'(x) = -3/(2x^2)

Теперь, подставляя значения производных в формулу, получаем:

y' = (3/2x) * (1/x^(2 - 3/2x)) * (-3/(2x^2)) + 0 = -9/(4x^3) * (1/x^(2 - 3/2x))

Таким образом, производная функции y = x^(3/2x) + 4 равна y' = -9/(4x^3) * (1/x^(2 - 3/2x)).

4. y = x^2 / (x^2 - 1)

Для нахождения производной этой функции, мы будем использовать правило производной частного функций. Правило производной частного функций гласит: если у нас есть функция f(x) = g(x) / h(x), то производная этой функции равна f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x))^2.

В данном случае, g(x) = x^2 и h(x) = x^2 - 1. Теперь найдем производные функций g(x) и h(x) и подставим их в формулу:

g'(x) = 2x h'(x) = 2x

Теперь, подставляя значения производных в формулу, получаем:

y' = (2x * (x^2 - 1) - x^2 * 2x) / (x^2 - 1)^2 = (2x^3 - 2x - 2x^3) / (x^2 - 1)^2 = -2x / (x^2 - 1)^2

Таким образом, производная функции y = x^2 / (x^2 - 1) равна y' = -2x / (x^2 - 1)^2.

Это подробные ответы на каждую из данных функций. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте знать!