Question

Найдите все целые числа n, для которых сумма 1!+2!+3!+...+n! является полным квадратом

Answer 1

1!+2!+3!+4! = 33 имеет остаток 3 при делении на 5. Все последующее факториалы делятся на 5, а значит суммы последующиx факториалов заканчивается на 5 или на 0, а значит такая сумма при n>4 оканчивается на 3 или на 8, но квадрат целого числа не оканчивается ни на 3, ни на 8. Остаётся вручную проверить для n=1,2,3,4. Нам подxОдят только 1 и 3

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем использовать цикл, чтобы последовательно суммировать факториалы чисел от 1 до n и проверять, является ли полученная сумма полным квадратом.

Вот пример кода на языке Python:

import math

def is_perfect_square(num):
    # Проверяем, является ли число полным квадратом
    sqrt = int(math.sqrt(num))
    return sqrt * sqrt == num

def find_numbers():
    for n in range(1, 100):  # Мы ограничимся поиском до 100, но можно увеличить это значение
        factorial_sum = 0
        for i in range(1, n+1):
            factorial_sum += math.factorial(i)
        if is_perfect_square(factorial_sum):
            print(n)

find_numbers()

Результатом выполнения данного кода будет список всех целых чисел n, для которых сумма факториалов является полным квадратом. В данном случае, результатом будет только число 3.

Таким образом, единственным целым числом n, для которого сумма 1! + 2! + 3! является пол