Question

Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы y=4x^2-16x+16/x^2+4

Answer 1

при x>-1/4 y'<0 ⇒ функция убываетпри x<-1/4 y'>0 ⇒ функция возрастает 

Answer 2

Для исследования функции y = (4x^2 - 16x + 16) / (x^2 + 4) на монотонность и экстремумы, нам понадобится проанализировать ее производные и точки, где производные равны нулю.

Производная функции

Давайте начнем с нахождения производной данной функции. Производная y'(x) функции y по переменной x может быть найдена с использованием правила дифференцирования частного:

y'(x) = [(4x^2 - 16x + 16)'(x^2 + 4) - (4x^2 - 16x + 16)(x^2 + 4)'] / (x^2 + 4)^2

Раскроем скобки и упростим выражение:

y'(x) = [(8x - 16)(x^2 + 4) - (4x^2 - 16x + 16)(2x)] / (x^2 + 4)^2

y'(x) = (8x^3 + 32x - 16x^2 - 64 - 8x^3 + 32x^2 - 32x) / (x^2 + 4)^2

y'(x) = (16x^2 - 32x - 64) / (x^2 + 4)^2

Теперь, чтобы исследовать монотонность и экстремумы функции, мы должны найти точки, в которых производная равна нулю.

Нахождение точек экстремума

Для нахождения точек экстремума функции, мы должны решить уравнение:

y'(x) = 0

Подставим выражение для y'(x):

(16x^2 - 32x - 64) / (x^2 + 4)^2 = 0

Уравнение будет равно нулю, только если числитель равен нулю:

16x^2 - 32x - 64 = 0

Мы можем разделить это уравнение на 16:

x^2 - 2x - 4 = 0

Это квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью квадратного корня или формулы дискриминанта. Решив уравнение, мы найдем две значения x, которые являются точками экстремума функции.

Исследование монотонности

Чтобы исследовать монотонность функции, мы можем проанализировать знак производной на разных интервалах между точками экстремума.

Если производная положительна на каком-то интервале, то функция возрастает на этом интервале. Если производная отрицательна, то функция убывает на этом интервале.

Давайте рассмотрим найденные значения x и проанализируем знак производной на разных интервалах.

Решение уравнения

Решим квадратное уравнение x^2 - 2x - 4 = 0.