Question

Помогите срочноооо!!!!!! sin 2x + sin 6x - cos 2x = 0 И вот ещё: f(x) = ln (5x-4/2x-1) , f'(1)

Answer 1

$1)\; \; (sin2x+sin6x)-cos2x=0\\\\2sin4x\cdot cos2x-cos2x=0\\\\cos2x\cdot (2sin4x-1)=0\\\\cos2x=0\; ,\; 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\; ,\; n\in Z\\\\sin4x=\frac{1}{2}\; ,\; 4x=(-1)^{m}\frac{\pi}{6}+\pi m,\; x=(-1)^{m}\frac{\pi}{24}+\frac{\pi m}{4}\; ,\; m\in Z\\\\2)\; \; f(x)=ln\frac{5x-4}{2x-1}\\\\f'(x)=\frac{2x-1}{5x-4}\cdot \frac{5(2x-1)-2(5x-4)}{(2x-1)^2}= \frac{2x-1}{5x-4} \cdot \frac{3}{(2x-1)^2} = \frac{3}{(5x-4)(2x-1)} \\\\f'(1)=\frac{3}{1\cdot 1}=3$

Answer 2

Давайте разберемся с каждым вопросом по очереди.

Уравнение sin(2x) + sin(6x) - cos(2x) = 0:

Для решения этого уравнения нужно использовать тригонометрические тождества и методы решения уравнений. Давайте преобразим уравнение:

\[ \sin(2x) + \sin(6x) - \cos(2x) = 0 \]

\[ \sin(2x) - \cos(2x) + \sin(6x) = 0 \]

\[ \sin(2x) - \sqrt{1 - \sin^2(2x)} + \sin(6x) = 0 \]

Теперь заметим, что \(\sin(2x)\) можно представить через \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\):

\[ 2\sin(x)\cos(x) - \sqrt{1 - (2\sin(x)\cos(x))^2} + \sin(6x) = 0 \]

Мы видим, что в этом уравнении присутствует \(\sin(6x)\), который также можно представить через \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\):

\[ 2\sin(x)\cos(x) - \sqrt{1 - (2\sin(x)\cos(x))^2} + 2\sin(x)\cos(5x) = 0 \]

Теперь у нас есть уравнение с одной переменной (\(x\)), и мы можем попробовать решить его численными методами или другими подходящими методами решения уравнений.

Функция \(f(x) = \ln\left(\frac{5x - 4}{2x - 1}\right)\) и \(f'(1)\):

\[ f'(x) = \frac{1}{\frac{5x - 4}{2x - 1}} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{5x - 4}{2x - 1}\right) \]

\[ f'(x) = \frac{1}{\frac{5x - 4}{2x - 1}} \cdot \frac{(5(2x - 1) - (5x - 4) \cdot 2)}{(2x - 1)^2} \]

\[ f'(x) = \frac{(2x - 1)(10 - 10x + 8)}{5x - 4} \cdot \frac{2x - 1}{(2x - 1)^2} \]

\[ f'(x) = \frac{(2x - 1)(18 - 10x)}{5x - 4} \]

Теперь подставим \(x = 1\) для нахождения \(f'(1)\):

\[ f'(1) = \frac{(2 \cdot 1 - 1)(18 - 10 \cdot 1)}{5 \cdot 1 - 4} \]

\[ f'(1) = \frac{(1)(8)}{1} = 8 \]

Таким образом, \(f'(1) = 8\).