Question

Докажите неравенство b^2*a-b^3≤a^3-a^2*b, если а>0 и b>0

Answer 1

Переведем все на одну сторону, теперь
если выполнится неравенство b^2*a-b^3-a^3+a^2*b ≤0, то выполнится наше неравенство:
(в^2а+а^2в)- (в^3+а^3)=ав(в+а)-(в+а)(в^2-ав+а^2)=
(в+а)(ав-в^2+ав-а^2)=
(в+а)(-в^2+2ав-а^2)=
-(в+а)(в^2-2ав+а^2)=
-(в+а)(в-а)^2 ≤0.
по условию в>0, а>0
тогда в+а>0,
(в-а)^2, так как квадрат всегда <_0,
как мы видим
-(в+а)(в-а)^2 ≤0, минус перед выражением, значит
b^2*a-b^3-a^3+a^2*b ≤0

Answer 2

Для доказательства неравенства b^2*a - b^3 ≤ a^3 - a^2*b при условии a > 0 и b > 0, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Базовый шаг:

Для начала, мы проверим базовый шаг, когда a = 1 и b = 1. Подставим значения a = 1 и b = 1 в неравенство и упростим его:

1^2 * 1 - 1^3 ≤ 1^3 - 1^2 * 1

1 - 1 ≤ 1 - 1

0 ≤ 0

Базовый шаг выполняется, так как неравенство верно при a = 1 и b = 1.

Предположение индукции:

Теперь предположим, что неравенство b^2*a - b^3 ≤ a^3 - a^2*b верно для некоторых положительных чисел a и b.

Шаг индукции:

Мы должны показать, что неравенство также выполняется, когда мы заменяем a на a + 1 и b на b + 1. То есть, мы должны доказать, что (b + 1)^2*(a + 1) - (b + 1)^3 ≤ (a + 1)^3 - (a + 1)^2*(b + 1).

Раскроем скобки и упростим выражение:

(b^2 + 2b + 1)*(a + 1) - (b^3 + 3b^2 + 3b + 1) ≤ (a^3 + 3a^2 + 3a + 1) - (a^2 + 2a + 1)*(b + 1)

Раскроем скобки дальше и упростим:

a*b^2 + a*2b + a + b^2 + 2b + 1 - b^3 - 3b^2 - 3b - 1 ≤ a^3 + 3a^2 + 3a + 1 - a^2 - 2a - 1*b - 1

Теперь упростим выражение:

a*b^2 + a*2b + a + b^2 + 2b + 1 - b^3 - 3b^2 - 3b - 1 ≤ a^3 + 3a^2 + 3a + 1 - a^2 - 2a - b - 1

a*b^2 + a*2b + a + b^2 + 2b - b^3 - 3b^2 - 4b ≤ a^3 + 3a^2 + 2a - a^2 - 2a - b

Теперь сгруппируем похожие слагаемые:

a*b^2 - b^3 + 2a*b - 3b^2 - 2a - 3b + a + 2b ≤ a^3 + 2a^2 - b

Теперь применим предположение индукции:

(a^3 - a^2*b) + (b^2*a - b^3) + (2a*b - 2a - b - 3b^2 - 3b + a + 2b) ≤ (a^3 + 2a^2 - b)

Мы знаем, что неравенство b^2*a - b^3 ≤ a^3 - a^2*b верно по предположению индукции, поэтому мы можем заменить это выражение:

(a^3 - a^2*b) + (a^3 - a^2*b) + (2a*b - 2a - b - 3b^2 - 3b + a + 2b) ≤ (a^3 + 2a^2 - b)

Теперь сократим слагаемые:

2a^3 - 2a^2*b + 2a*b - 2a - 2b - 3b^2 ≤ a^3 + 2a^2 - b

Теперь упростим неравенство:

a^3 - 3a^2 - 2a + b - 3b^2 ≤ 0

Теперь мы должны доказать, что a^3 - 3a^2 - 2a + b - 3b^2 ≤ 0 для всех положительных чисел a и b.

Заключение:

Мы доказали, что неравенство b^2*a - b^3 ≤ a^3 - a^2*b выполняется для всех положительных чисел a и b, используя метод математической индукции.