Question

Вычислить определенный интеграл:

Answer 1

$\int _4^9\frac{y-1}{\sqrt{y}+1}dy=[\, t=\sqrt{y},y=t^2,dy=2tdt,t_1=\sqrt4=2,t_2=\sqrt9=3\, ]=\\\\=\int _2^3\frac{t^2-1}{t+1}\cdot 2t\, dt=\int _2^3\frac{(t-1)(t+1)}{t+1}\cdot 2t\, dt=2\int _2^3(t^2-t)dt=\\\\=(\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2})|_2^3=9-\frac{9}{2}-(\frac{8}{3}-2)=11-\frac{43}{6}=\frac{23}{6}$

Answer 2

Для вычисления определенного интеграла необходимо знать функцию, которую нужно проинтегрировать, и пределы интегрирования.

Определенный интеграл вычисляется следующим образом:

∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a),

где F(x) - первообразная функции f(x), то есть функция, производная которой равна f(x).

Пример вычисления определенного интеграла:

Пусть нужно вычислить определенный интеграл ∫[0, 2] x^2 dx.

Сначала найдем первообразную функции f(x) = x^2. Для этого возьмем производную от x^3/3:

F(x) = x^3/3.

Теперь вычислим значение определенного интеграла:

∫[0, 2] x^2 dx = F(2) - F(0) = (2^3/3) - (0^3/3) = 8/3.

Таким образом, определенный интеграл от функции x^2 на отрезке [0, 2] равен 8/3.