Question

Разложите на множители многочлен x в 4 степени -1

Answer 1

$x^4-1=(x^2)^2-1^2=(x^2-1)(x^2+1)=(x^2-1^2)(x^2+1)=$
$=(x-1)(x+1)(x^2+1)$

Answer 2

Для разложения многочлена на множители, необходимо найти его корни. В данном случае, у нас есть многочлен x в 4 степени - 1.

Для начала, давайте проверим, есть ли у него какие-либо целочисленные корни, используя теорему о рациональных корнях. Согласно этой теореме, все рациональные корни многочлена будут представлены в виде p/q, где p - делитель свободного члена (в данном случае -1), а q - делитель старшего коэффициента (в данном случае 1).

Поделим -1 на 1, чтобы найти возможные целочисленные корни. Получим результат -1. Таким образом, -1 является одним из потенциальных корней многочлена.

Теперь мы можем использовать синтетическое деление или метод Горнера, чтобы проверить, является ли -1 действительным корнем. Поделим многочлен x в 4 степени - 1 на (x + 1):

     -1 | 1  0  0  0  -1
        | -1  1 -1  1
      ---------------
         1 -1  1  1   0

Результатом является многочлен 1x^3 - 1x^2 + 1x + 1.

Теперь у нас есть новый многочлен, и мы можем продолжить поиск его корней. Повторим процесс, исходя из нового многочлена.

Таким образом, мы можем увидеть, что многочлен x в 4 степени - 1 раскладывается на множители следующим образом:

(x + 1)(1x^3 - 1x^2 + 1x + 1)

Исходя из этого разложения, мы видим, что -1 является одним из корней многочлена x в 4 степени - 1, а 1x^3 - 1x^2 + 1x + 1 является оставшимся многочленом.

Подробно разложив оставшийся многочлен, мы можем найти остальные корни и продолжить разложение на множители.