Question

Даны векторы a=i-j+k,b=i+j+k,c=2i+3j-4k.Найти (2a-3b) *(b+c)

Answer 1

2a=2i-2j+2k
3b=3i+3j+3k
2a-3b=-i-5j-k
b+c=3i+4j-3k
(2a-3b)*(b+c)=(-1)*3+(-5)*4+(-1)*(-3)=-3-20+3=-20

Answer 2

Давайте разберемся с выражением \( (2\mathbf{a} - 3\mathbf{b}) \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) \), где \(\mathbf{a} = \mathbf{i} - \mathbf{j} + \mathbf{k}\), \(\mathbf{b} = \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}\), и \(\mathbf{c} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} - 4\mathbf{k}\).

1. Вычислим \(2\mathbf{a} - 3\mathbf{b}\): \[ 2\mathbf{a} = 2(\mathbf{i} - \mathbf{j} + \mathbf{k}) = 2\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \] \[ 3\mathbf{b} = 3(\mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}) = 3\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \] Теперь вычтем второе из первого: \[ (2\mathbf{a} - 3\mathbf{b}) = (2\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}) - (3\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) = -\mathbf{i} - 5\mathbf{j} - \mathbf{k} \]

2. Теперь вычислим \((\mathbf{b} + \mathbf{c})\): \[ \mathbf{b} + \mathbf{c} = (\mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}) + (2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} - 4\mathbf{k}) = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} - 3\mathbf{k} \]

3. Теперь умножим полученные векторы: \[ (-\mathbf{i} - 5\mathbf{j} - \mathbf{k}) \cdot (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} - 3\mathbf{k}) \] Раскроем это скалярное произведение: \[ -\mathbf{i} \cdot 3\mathbf{i} - \mathbf{i} \cdot 4\mathbf{j} - \mathbf{i} \cdot (-3\mathbf{k}) - 5\mathbf{j} \cdot 3\mathbf{i} - 5\mathbf{j} \cdot 4\mathbf{j} - 5\mathbf{j} \cdot (-3\mathbf{k}) - \mathbf{k} \cdot 3\mathbf{i} - \mathbf{k} \cdot 4\mathbf{j} - \mathbf{k} \cdot (-3\mathbf{k}) \] Упростим каждое слагаемое: \[ -3 - 4\mathbf{j} + 3\mathbf{k} - 15\mathbf{i} - 20 + 15\mathbf{k} - 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \] Сгруппируем по координатам: \[ -18\mathbf{i} - 20\mathbf{j} + 21\mathbf{k} \]

Таким образом, \( (2\mathbf{a} - 3\mathbf{b}) \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = -18\mathbf{i} - 20\mathbf{j} + 21\mathbf{k} \).