Question

Y=корень из -11+12х-х^2 Найти точку максимума функции

Answer 1

X²-12x+11≤0
x1+x2=12 U x1*x2=11⇒x1=1 U x2=11
D(f)∈[1;11]
f`(x)=(12-2x)/2√(-11+12x-x²)=(6-x)/√(-11+12x-x²)=0
6-x=0⇒x=6∈[1;11]
y(6)=√(-11+72-36)=√25=5

Answer 2

Для нахождения точки максимума функции \(y = \sqrt{-11 + 12x - x^2}\) нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции по переменной \(x\). 2. Решим уравнение \(\frac{dy}{dx} = 0\) для нахождения критических точек. 3. Используем вторую производную, чтобы определить, является ли точка критической точкой минимума или максимума.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\) по \(x\).

\[y = \sqrt{-11 + 12x - x^2}\]

\[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{-11 + 12x - x^2}} \cdot \frac{d}{dx}(-11 + 12x - x^2)\]

\[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{-11 + 12x - x^2}} \cdot (12 - 2x)\]

Шаг 2: Решим уравнение \(\frac{dy}{dx} = 0\) для нахождения критических точек.

\[0 = \frac{1}{2\sqrt{-11 + 12x - x^2}} \cdot (12 - 2x)\]

Умножим обе стороны на \(2\sqrt{-11 + 12x - x^2}\):

\[0 = 12 - 2x\]

\[2x = 12\]

\[x = 6\]

Таким образом, у нас есть одна критическая точка \(x = 6\).

Шаг 3: Используем вторую производную, чтобы определить, является ли точка критической точкой минимума или максимума.

\[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2\sqrt{-11 + 12x - x^2}} \cdot (12 - 2x) \right) \]

После выполнения нескольких вычислений можно увидеть, что вторая производная равна:

\[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-2}{(12 - 2x)^{3/2}} \]

Теперь подставим \(x = 6\) (значение критической точки) во вторую производную:

\[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-2}{(12 - 2 \cdot 6)^{3/2}} = \frac{-2}{0} \]

Знаменатель равен нулю, что означает, что тест второй производной не дает определенного результата. Для более точного анализа необходимо использовать другие методы, например, метод первой или второй производной.

Вывод: Точка \(x = 6\) является критической точкой, но для определения, является ли она точкой минимума или максимума, требуется дополнительный анализ.