Question

1. Разложите на простые множители число 5544. 2.найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 504 и 756. 3. докажите ,что числа:а)255 и 238 не взаимно просты; б)392 и 675 взаимно простые. 4.может ли разность двух простых чисел являться составным числом?

Answer 1

1) 5544 = 2 * 2 * 2 *3 * 3 * 7 * 11 = 2³ * 3² * 7¹ * 11¹

2)  504 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 7 = 2³ * 3² * 7¹

     756 = 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 7 = 2² * 3³ * 7¹

Тогда  НОД = 2² * 3² * 7¹ = 252

           НОК = 2³ * 3³ * 7¹ = 1512

Для НОД из показателей степеней при равных основаниях выбираются наименьшие, а для НОК - наибольшие

 

3)  а)  238 = 2 * 7 * 17        255 = 3 * 5 * 17

Среди простых сомножителей есть общий (17), поэтому числа взаимно простыми не являются.

     б) 392 = 2³ * 7²   675 = 3³ * 5²

В разложении чисел нет общих простых оснований степени, поэтому числа взаимно простые.

 

4) Поскольку все простые числа больше 2 нечетные, то их разность является четным числом, то есть если разность этих простых чисел больше. чем 2, то она будет составным числом.

Answer 2

1. Разложение числа 5544 на простые множители:

Чтобы разложить число 5544 на простые множители, мы можем использовать метод пробного деления. Пробуем делить число на наименьший простой делитель, который является числом 2. Если число делится на 2, то продолжаем делить полученное частное на 2, пока не получим нечетное число. Затем пробуем делить на наименьший простой делитель, который является числом 3. Продолжаем этот процесс, пока не получим единицу в результате деления.

Разложение числа 5544 на простые множители: 2 x 2 x 2 x 3 x 7 x 11.

2. Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) чисел 504 и 756:

Чтобы найти НОД и НОК чисел 504 и 756, мы можем использовать алгоритм Евклида.

Алгоритм Евклида для нахождения НОД: 1. Делим большее число на меньшее. 2. Если деление без остатка, то меньшее число является НОД. 3. Если есть остаток, то заменяем большее число на остаток, а меньшее число на результат деления. 4. Повторяем шаги 1-3 до тех пор, пока не получим деление без остатка.

Алгоритм Евклида для нахождения НОК: 1. НОК равен произведению чисел, деленному на НОД.

Применяя алгоритм Евклида, получаем: НОД(504, 756) = 252 НОК(504, 756) = (504 x 756) / 252 = 1512.

Таким образом, НОД чисел 504 и 756 равен 252, а НОК равен 1512.

3. Доказательство взаимной простоты и невзаимной простоты чисел:

а) Доказательство, что числа 255 и 238 не являются взаимно простыми: Два числа считаются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы доказать, что числа 255 и 238 не являются взаимно простыми, мы можем найти их НОД.

Применяя алгоритм Евклида, получаем: НОД(255, 238) = 17.

Таким образом, НОД чисел 255 и 238 равен 17, что не является единицей. Следовательно, числа 255 и 238 не являются взаимно простыми.

б) Доказательство, что числа 392 и 675 являются взаимно простыми: Два числа считаются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы доказать, что числа 392 и 675 являются взаимно простыми, мы можем найти их НОД.

Применяя алгоритм Евклида, получаем: НОД(392, 675) = 1.

Таким образом, НОД чисел 392 и 675 равен 1. Следовательно, числа 392 и 675 являются взаимно простыми.

4. Может ли разность двух простых чисел являться составным числом?

Нет, разность двух простых чисел не может быть составным числом. Простые числа являются числами, которые имеют только два делителя: 1 и само число. Если мы вычтем одно простое число из другого, то получим разность, которая не может иметь других делителей, кроме 1 и самой разности. Поэтому разность двух простых чисел всегда будет простым числом или 1.

Например, разность между простыми числами 7 и 3 равна 4, которое является составным числом. Однако, это исключение, так как 4 не является простым числом.

Таким образом, в общем случае разность двух простых чисел не может быть составным числом.