Question

Решите уравнение 2(x+4)^4-3(x+4)^2-2=0 Это биквадратное уравнение

Answer 1

Пусть (x+4)^2=t, t≥0
Тогда 2t^2 - 3t - 2=0
D=9+16=25
t=(3+5)/4=2 (t=(3-5)/4 отбрасывается, так как в этом случае t<0)
Обратная замена:
(x+4)^2=2
x+4=√2
x=-4 + √2

Answer 2

Для решения данного биквадратного уравнения, давайте сделаем замену переменной: пусть u = (x+4)^2. Тогда уравнение примет вид:

2u^2 - 3u - 2 = 0.

Теперь, решим это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac,

где a = 2, b = -3 и c = -2.

D = (-3)^2 - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25.

Так как D > 0, у нас есть два вещественных корня. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

u1,2 = (-b ± √D) / (2a).

u1 = (-(-3) + √25) / (2 * 2) = (3 + 5) / 4 = 8/4 = 2.

u2 = (-(-3) - √25) / (2 * 2) = (3 - 5) / 4 = -2/4 = -1/2.

Теперь, вернемся к исходной переменной x:

u = (x+4)^2.

Для u = 2:

2 = (x+4)^2.

Извлекая квадратный корень из обеих сторон:

√2 = x + 4.

x = -4 ± √2.

Для u = -1/2:

-1/2 = (x+4)^2.

Извлекая квадратный корень из обеих сторон:

√(-1/2) = x + 4.

Так как √(-1/2) не имеет вещественных решений, то уравнение не имеет корней для этого значения u.

Итак, решение исходного биквадратного уравнения 2(x+4)^4 - 3(x+4)^2 - 2 = 0:

x = -4 ± √2.