Question

Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды составляет с плоскостью основания угол 30°. Вычислитель высоту пирамиды, если площадь диагонального сечения равна 4√3 см2.

Answer 1

Пусть SАВСД - правильная четырехугольная пирамида, тогда треугольник АSС - диагональное сечение, причем АS = СS, угол А= углу С = 30°. Высота пирамиды является высотой треугольника АSС, обозначим SН. Пусть SН=х, тогда SН/НС = тангенс 30°, отсюда НС = х. Так как площадь треугольника АSС равна 4√3 или
1/2АС SН, получим уравнение :
1/2*2х*х=4√3, отсюда х=2. Значит, высота пирамиды 2 см.
Ответ: 2см.

Answer 2

Для решения этой задачи давайте обозначим черты пирамиды:

- \( l \) - длина бокового ребра, - \( h \) - высота пирамиды, - \( \alpha \) - угол между боковым ребром и плоскостью основания (в данном случае, \( \alpha = 30^\circ \)).

Мы знаем, что боковое ребро пирамиды, ее высота и диагональ сечения образуют прямоугольный треугольник внутри пирамиды.

Исходя из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике, мы можем записать следующее:

\[ \tan(\alpha) = \frac{h}{\frac{l}{2}} \]

Поскольку \( \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} \), мы можем подставить это значение и решить уравнение относительно \( h \):

\[ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{h}{\frac{l}{2}} \]

Умножим обе стороны на \( \frac{l}{2} \):

\[ \frac{l}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = h \]

Теперь у нас есть выражение для высоты \( h \) через длину бокового ребра \( l \). Но нам нужно найти \( h \) в терминах площади диагонального сечения.

Диагональное сечение пирамиды образует равнобедренный треугольник с углом при вершине \( 30^\circ \). Площадь равнобедренного треугольника можно выразить следующим образом:

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} \]

В нашем случае основание треугольника - это длина диагонали, равная \( l \), а высота - это половина длины бокового ребра (так как у нас равнобедренный треугольник):

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot l \cdot \frac{l}{2} \]

Теперь у нас есть выражение для площади диагонального сечения в терминах длины бокового ребра \( l \). Мы знаем, что эта площадь равна \( 4\sqrt{3} \, \text{см}^2 \), поэтому мы можем установить уравнение:

\[ \frac{1}{2} \cdot l \cdot \frac{l}{2} = 4\sqrt{3} \]

Решив это уравнение относительно \( l \), мы найдем длину бокового ребра.

Когда у нас есть длина бокового ребра \( l \), мы можем подставить ее обратно в выражение для высоты \( h \):

\[ h = \frac{l}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \]

Теперь у нас есть значение высоты пирамиды.