Question

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 высота равна 1,сторона основания равна 2. Найдите расстояние от точки А1 до прямой ВС1

Answer 1

Кратчайшее расстояние от точки до прямой - это перпендикуляр опушенный из этой точки на прямую. А перпендикуляр из точки A1 на прямую B1C1 упадет в точку C1. Следовательно ответ: 2.

Answer 2

Для нахождения расстояния от точки \(A_1\) до прямой \(BC_1\) в треугольной призме \(ABC A_1B_1C_1\), нужно использовать понятие перпендикулярного расстояния от точки до прямой.

Сначала определим, что прямая \(BC_1\) является горизонтальной проекцией ребра \(BC\). Поскольку высота призмы равна 1, а основание - прямоугольный треугольник \(ABC\), то у нас есть прямоугольный треугольник со сторонами 1, 2 и \(\sqrt{5}\).

Теперь обратим внимание на точку \(A_1\). Поскольку она лежит на ребре \(AA_1\), которое перпендикулярно плоскости \(ABC\), её проекция на эту плоскость будет точкой пересечения высоты из вершины \(A\) и прямой, проходящей через \(A_1\) и параллельной основанию \(BC\).

Давайте обозначим через \(H\) вершину высоты из \(A\), а через \(D\) - проекцию точки \(A_1\) на плоскость \(ABC\). Тогда треугольник \(AHD\) также будет прямоугольным, и мы можем использовать его для вычисления расстояния от \(A_1\) до прямой \(BC_1\).

Рассмотрим треугольник \(AHD\). У него две стороны известны: \(AH = 1\) (высота призмы) и \(AD = AA_1\). Найдем третью сторону \(HD\), которая представляет собой расстояние от точки \(A_1\) до прямой \(BC_1\).

Из прямоугольного треугольника \(ABC\) мы знаем, что \(BD = \sqrt{5}\), а также, что угол \(B\) прямой. Теперь мы можем использовать подобие треугольников \(ABC\) и \(AHD\) для определения \(HD\).

\[\frac{HD}{AD} = \frac{BD}{AB}\]

\[\frac{HD}{AA_1} = \frac{\sqrt{5}}{2}\]

Теперь мы можем решить уравнение относительно \(HD\):

\[HD = \frac{AA_1 \cdot \sqrt{5}}{2}\]

Таким образом, расстояние от точки \(A_1\) до прямой \(BC_1\) равно \(\frac{AA_1 \cdot \sqrt{5}}{2}\).